Изолированные особые точки

9. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Возьмем окрестность некоторой точки и отбросим саму точку. Полученную неодносвязную область сокращенно

называют проколотой окрестностью точки a.
Точка a называется изолированной особой точкой функции , если эта функция голоморфна в проколотой окрестности этой точки и в самой точке либо не

определена, либо определена, но не голоморфна. Различают три типа изолированных особых точек.

1.Устранимая особенность. Изолированная особая точка называется устранимой, если существует конечный предел

    (9.1)

Зафиксируем точку z в U. Выберем такой контур Г, чтобы точки a и z лежали внутри его, и

окружность с центром точке и с настолько малым радиусом r, чтобы точка z лежала вне этой окружности. Применяя интегральную формулу Коши для двусвязной области, ограниченной и Г, содержащей z, получаем

    (9.2)

пользуясь (9.1),оценим второй интеграл:

при

(Мы воспользовались тем, что наименьшее расстояние от точки z до точек окружности равно расстоянию до центра минус радиус r). Переходя к пределу при в равенстве (9.2), получаем

Интеграл справа является интегралом типа Коши и, как было сказано в §6, он определяет голоморфную внутри Г функцию. Из равенства следует, что исходная функция совпадает с этой голоморфной функцией внутри Г за исключением, быть может, точки . Доопределим функцию в точке равенством

Так определенная функция будет уже голоморфной и в точке . Таким образом, если является устранимой особой точкой функции , то функция может быть доопределена в этой точке так, то она будет голоморфной и в точке (особенность устраняется).

2.Полюс. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если при . Из определения следует, что для всякого положительного числа существует окрестность точки , в которой модуль функции не меньше этого числа. Пусть, например, при выполняется неравенство . Рассмотрим функцию . Эта функция будет голоморфной в проколотой окрестности точки , так как в ней голоморфна и . Далее

,

Значит функция имеет в точке устранимую особенность. Тогда ее можно доопределить в точке так, что она станет голоморфной, а значит и непрерывной, в точке . Полагаем

.

Так доопределенная функция будет голоморфной в точке и будет иметь в ней нуль. Пусть — порядок этого нуля, тогда, как показано в (9.1) в §8, функция в окрестности точки представима в виде

,

где — голоморфна в этой окрестности и . Тогда

.  (9.3)

Так как , то функция голоморфна в более узкой, возможно, окрестности точки . Кроме того .