Учебные материалы по математике | Изолированные особые точки | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Изолированные особые точки


9. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Возьмем окрестность некоторой точки и отбросим саму точку. Полученную неодносвязную область сокращенно

называют проколотой окрестностью точки a.
Точка a называется изолированной особой точкой функции , если эта функция голоморфна в проколотой окрестности этой точки и в самой точке либо не

определена, либо определена, но не голоморфна. Различают три типа изолированных особых точек.

1.Устранимая особенность. Изолированная особая точка называется устранимой, если существует конечный предел

    (9.1)

Зафиксируем точку z в U. Выберем такой контур Г, чтобы точки a и z лежали внутри его, и

окружность с центром точке и с настолько малым радиусом r, чтобы точка z лежала вне этой окружности. Применяя интегральную формулу Коши для двусвязной области, ограниченной и Г, содержащей z, получаем

    (9.2)

пользуясь (9.1),оценим второй интеграл:

при

(Мы воспользовались тем, что наименьшее расстояние от точки z до точек окружности равно расстоянию до центра минус радиус r). Переходя к пределу при в равенстве (9.2), получаем

Интеграл справа является интегралом типа Коши и, как было сказано в §6, он определяет голоморфную внутри Г функцию. Из равенства следует, что исходная функция совпадает с этой голоморфной функцией внутри Г за исключением, быть может, точки . Доопределим функцию в точке равенством

Так определенная функция будет уже голоморфной и в точке . Таким образом, если является устранимой особой точкой функции , то функция может быть доопределена в этой точке так, то она будет голоморфной и в точке (особенность устраняется).

2.Полюс. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если при . Из определения следует, что для всякого положительного числа существует окрестность точки , в которой модуль функции не меньше этого числа. Пусть, например, при выполняется неравенство . Рассмотрим функцию . Эта функция будет голоморфной в проколотой окрестности точки , так как в ней голоморфна и . Далее

,

Значит функция имеет в точке устранимую особенность. Тогда ее можно доопределить в точке так, что она станет голоморфной, а значит и непрерывной, в точке . Полагаем

.

Так доопределенная функция будет голоморфной в точке и будет иметь в ней нуль. Пусть — порядок этого нуля, тогда, как показано в (9.1) в §8, функция в окрестности точки представима в виде

,

где — голоморфна в этой окрестности и . Тогда

.  (9.3)

Так как , то функция голоморфна в более узкой, возможно, окрестности точки . Кроме того .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод