Изолированные особые точки

где числа r’ и R’ выбираем так, что . Первый интеграл преобразуется как в предыдущем параграфе:

где

и r<ρ <R. Преобразуем второй интеграл:

Почленное интегрирование дает главную часть ряда Лорана :

где

и r<ρ <R. Складывая главную и правильную части ряда Лорана, получаем представление функции f(z), аналитической в кольце r<|z-a| <R в виде суммы ряда Лорана

где

при любом целом m.

Пример. Рассмотрим различные разложения в ряд Лорана функции f(z)=1/(z-1)(z-2) , выбрав . Предварительно заметим, что .

Случай 1 — разложение в круге | z| <1 . Тогда

— 1/ z-1 =1/ 1-z =1+z+z^2+… , 1/z-2 =-1/2 ⋅ 1/ 1-z/2 =-1/2 — z /2^2 — z^2/2^3 -…

Складывая, получаем:

1/ (z-1)(z-2) =1 / 2 +(1-1/ 2^2 )z+(1- 1/ 2^3 )z^2+…

Случай 2 — разложение в кольце 1<|z| <2 . Тогда дробь , в отличии от дроби , раскладывается по-другому:

-1/ z-1 =-1/z ⋅ 1/ [1-1/ z] =-1/ z – 1/ z^2 – 1/ z^3 -…

Складывая, получаем:

1/ (z-1)(z-2) =-1/2 — z / 2^2 — z^2/ 2^3 -… — 1/ z – 1/ z^2 — 1 / z^3 -…

Случай 3 — разложение в кольце 2<|z| . Тогда и дробь раскладывается по другому:

1/ z-2 =-1/ z ⋅ 1/[ 1-2/ z] = 1/ z + 2/ z^2 + 2^2/ z^3 +…

Складывая, получаем:

1/ (z-1)(z-2) = 1/ z^2 + 2^2-1 / z^3 + 2^3-1/ z^4 +…

Заметим, что если дано разложение функции в сумму ряда Лорана в кольце r<|z-a| <R, то радиус сходимости правильной части больше или равен R, радиус сходимости главной части меньше или равен r и, умножая разложение функции на , а затем почленно интегрируя при учете формул получаем, что

для любого целого m, и в качестве ρ можно взять любое число между r и R. Отсюда вытекает единственность ряда Лорана. В частности, в дальнейшем важную роль будет играть следующий коэффициент ряда Лорана:

.

20  Изолированные особые точки

1. Особые точки

Особая точка функции комплексного переменного — это точка, в которой отсутствует аналитичность. Особая точка функции f(z) называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки функция f(z) не имеет других особых точек.

2. Разложение в окрестности особой точки

Пусть – изолированная особая точка, и R – расстояние от до ближайшей особой точки. Так как – изолированная особая точка, то . Разложим в ряд Лорана в кольце .

Рассмотрим три случая.

Случай 1. В ряде Лорана главная часть отсутствует. Тогда, доопределяя функцию в точке a посредством равенства , получаем аналитическую в точке функцию, которую также будем обозначать через . Точка в этом случае называется устранимой особой точкой.

Пример. Точка 0 для функции устранима и функция

будет аналитическим продолжением функции на всю комплексную плоскость.

Теорема. В устранимой особой точке функция имеет предел. Наоборот, если аналитическая функция в изолированной особой точке ограничена, то эта особенность устранима.

Доказательство. Первая часть предложения доказана выше. Пусть f(z) имеет изолированную особенность в точке и — разложение на главную и правильную части в этой точке. Тогда аналитична в точке , а продолжается на всю область и ограничена на бесконечности. Если ограничена в точке , то и также ограничена в точке . Тогда функция аналитична на всей комплексной плоскости и ограничена. По теореме Лиувилля эта функция должна быть константой. Так как при эта функция обращается в ноль, то g≡ 0. Тем самым главная часть в разложении в ряд Лорана функции f(z) отсутствует, что и требовалось доказать.

Случай : главная часть ряда Лорана ненулевая и содержит конечное число слагаемых. Имеем:

f(z)=∑_ n=0 ^∞ c_n(z-a)^n + c_-1/z-a +c_-2/(z-a)^2 +c_-3/(z-a)^3 +…+c_-m/(z-a)^m ,

где В этом случае a называется полюсом порядка m. Если m=1, то a называется простым полюсом

Теорема. Точка a — полюс порядка m тогда и только тогда, когда , где — аналитическая и не равная 0 в точке a функция.