Исследование функции на перегиб

не существует при х=0.

Определим знак производной в интервалах монотонности:

,

точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции:

3. Исследуем функцию на перегиб:

Найдём вторую производную:

Критические точки функции, в которых или не существует:

критическая точка.

Определим знак второй производной в каждом интервале кривизны:

, значит, кривая вогнутая;

, значит, кривая вогнутая.

Точек перегиба график функции не имеет.

Найдём дополнительные точки графика:

у=0, тогда — это точка пересечения графика функции с осью Ох;

при х=1: у = точка (1;5);

при х=4: у = точка (4;4,25).

По результатам исследования строим график функции:

Методические указания и примеры типового расчёта

задания №42 "Математического тренинга" по теме

«Дифференциал функции и его применение в

приближенных вычислениях»

Теория:

Определение: Дифференциал функции — это главная часть приращения функции .

Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента: ,

где — дифференциал аргумента, — производная функции.

Определение: Дифференциал аргумента равен приращению аргумента , где — приращение аргумента.

Тогда, дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

В приближённых вычислениях учитывают, что при — мало

То есть, можно считать, что приращение функции приближённо равно дифференциалу этой функции при условии, что приращение аргумента достаточно мало.

Также можно дифференциал функции применять при приближённом вычислении значения функции в точке:,

так как и при .

Пример1. Найдите приближённое значение приращения функции

у= в точке х=-2, если аргумент получил приращение

Решение:

Так как приращение аргумента — мало, то .

Найдём дифференциал функции: , где

, тогда в точке х=-2

значит . Итак,

Ответ:

Пример2. Найдите точное и приближённое значения приращения функции в точке х=-3, если аргумент получил приращение Вычислите относительную погрешность приближения.

Решение: