Учебные материалы по математике | Интервальный метод оценивания параметров распределения | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Интервальный метод оценивания параметров распределения


34.Интер. оценив. параметров распред.

Интервальный метод оценивания параметров распределения СВ заключается в определении интервала (а не единичного значения), в кот. с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри кот. предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок.

35.Довер. интервал и довер. вероятность

Общий метод построения доверительных интервалов-Метод позволяет по имеющейся случайной выборке построить функцию и(Т, q ), распределенную асимптотически нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсиейДоверительный интервал для вероятности.Пусть СВ Х имеет только два возможных значения: 0 и 1. В результате проведения достаточно большого количества наблюдений эта случайная величина приняла единичное значение т раз. Необходимо при заданной надежности 1– a определить доверительный интервал для вероятности р, оценка которой соответствует частоте h = т/п.

36.Доверительне интервалы для матем. ожидания и для дисперсии нормально распределенной СВ

Доверительный интервал для математического ожидания.Пусть по выборке достаточно большого объема, n > 30, и при заданной доверительной вероятности 1– a необходимо определить доверительный интервал для математического ожидания m1, в качестве оценки которого используется среднее арифметическое .

Доверительный интервал для дисперсии

По выборке достаточно большого объема (n>30) и при заданной надежности 1– a необходимо определить доверительный интервал для дисперсии m2 , оценка которой .

45.Коэффиц. лин. корреляции и его св-а

Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными. Предполагается, что переменные измерены в интервальной шкале либо в шкале отношений.Если представить две переменные на координатном поле, то каждая пара значений будет отображать координаты точки в этом поле. Чем ближе точки к усредненной прямой, тем выше коэффициент корреляции. Коэффициент можно определить по формуле:

.

Коэффициент обладает следующими свойствами:

1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных порядков;

2) изменяется в диапазоне от –1 до +1. Полож. значение свидетельствует о прямой линейной связи, отриц. – об обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3.

37. Статист. гипотеза, статист. критерий, ошибки первого и второго рода.

Закон распределения определяет количественные хар-ки генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону. В этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения. Часто закон распределения известен, но неизвестны его параметры. То есть в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра известного распределения. Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т. д. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. Нулевой (основной) наз. выдвинутую гипотезу Но. Альтернативной (конкурирующей) наз. гипотезу , кот. противоречит нулевой. Простой наз. гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной наз. гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Т. к. проверку производят статистическими методами, то ее наз. статистической. В итоге статист. проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Правильное решение может быть принято также в двух случаях, когда принимается правильная гипотеза или отвергается неверная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ; ее наз. уровнем значимости. Чаще всего, уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Статистическим критерием (или просто критерием) наз. СВ (обозначим ее через K), кот. служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением критерия Kнабл наз. значение критерия, вычисленное по выборкам.

38. Критич. обл, мощность критерия.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из кот содержит значения критерия, при кот. нулевая гипотеза отвергается, а другое – при кот. она принимается. Критической областью наз. совок. значений критерия, при кот. нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) наз. совок. значений критерия, при кот. гипотезу принимают. Так как критерий K – одномерная СВ, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки наз. критическими точками. Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число. Двусторонней наз. критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами или равносильным неравенством . Вероятность ошибки второго рода обозначается β , а величина 1-β называется мощностью критерия. Чем меньше α , тем менее вероятно отклонить верную основную гипотезу. Чем больше мощность критерия, тем менее вероятно принять неверную основную гипотезу. Однако одновременное уменьшение ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении объема выборки. Поэтому при заданном уровне значимости среди доступных исследователю критериев отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

39. Схема проверки статист. гипотезы.

Этапы проверки статистической гипотезы:

·  Формулируется нулевая гипотеза ;

·  Определяется критерий K, по значениям кот. можно будет принять или отвергнуть и выбирается уровень значимости ;

·  По уровню значимости определяется критическая область;

·  По выборке вычисляется значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается или .

Основной принцип проверки статист. гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

40. Проверка гипотез о матем. ожидании СВ, распределённой по нормальному закону

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных СВ при известной дисперсии.Обозначим через п и т объемы больших (n > 30, т > 30) независимых выборок, по кот. найдены соответствующие выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (Y) известны.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Но: М (Х) = М(У) о равенстве матема­тических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных гене­ральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе Н1: М (X) М (Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства

Если | Zнабл | < Zтабл — нулевая гипотеза принимается. Если | Zнабл | >Zтабл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1 :М(Х)>М(У) находят критическую точку по таблице функции Лапласа из равенства

Если | Zнабл | < Zтабл — нулевая гипотеза принимается. Если | Zнабл | >Zтабл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н1 :М (X) < М (У) находят «вспомогательную точку» по правилу 2. Если | Zнабл | < Zтабл — нулевая гипотеза принимается. Если | Zнабл | >Zтабл — нулевую гипотезу отвергают.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при неизвестной дисперсии.

Обозначим через п и т объемы малых независимых выборок (n< 30, т < 30), по которым найдены соответствующие выборочные средние х и у и исправленные выборочные дисперсии D (X) и D (Y) . Гене­ральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинако­выми.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Но: М (X) = М (У) о равенстве мате­матических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных сово­купностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе H1: М(Х) М(У), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за­данному уровню значимости , и по числу степеней свободы k = n+m 2 найти критическую точку t(,k). Если | Tнабл | < t(,k) нулевая гипотеза принимается. Если | Tнабл | > t(,k)нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе М (X) > М (У) находят критическую точку t(,k) по таблице приложения по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n+m—2. Если | Tнабл | < t(,k) нулевая гипотеза принимается. Если | Tнабл | > t(,k)нулевую гипотезу отвергают.

44. Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии.

Корреляционная зависимость – это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого. В дальнейшем рассмотрении мы ограничимся лишь линейными корреляционными зависимостями как наиболее простыми. Величина, характеризующая степень линейной зависимости с. в. X и Y , – это коэффициент корреляции .Пусть изучается система с. в. (X,Y) . Для этого произведено n независимых испытаний и получено n пар чисел (точек): . Требуется установить вид линейной зависимости между X и Y . Для этого находят выборочный коэффициент корреляции: , где (X ) и (Y ) – выборочное среднеквадратическое отклонение с. в. X и Y соответственно, выборочный корреляционный момент, определяемый формулой .

Линейная зависимость Y от X задается формулой прямой линейной регрессии Y на X: , а линейная зависимость X от Y задается формулой прямой линейной регрессии X на Y : . Заметим, что, вообще говоря, уравнения прямых линейной регрессии Y на X и X на Y различны.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод