Учебные материалы по математике | Интерполяция сплайнами | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Интерполяция сплайнами


При построении интерполяционной формулы Ньютона не учитываются никакие условия на раположение и нумерацию узлов интерполирования. Это означает, что нумировать узлы можно произвольным образом и как частный случай нумеровать их в порядке убывания.

Тогда вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

Интерполяционный процесс сходится равномерно, если: =0

Теорема Фабера о сходимости интерполяционного процесса: какой бы ни была последовательность сеток найдется такая непрерывная функция f(x) на [a, b], для которой интерполяционный процесс не сходится равномерно на [a, b].

Теорема говорит о том, что универсальной системы сеток нет, для которой многочлен Лагранжа всегда бы сходился к функции равномерно.

Теорема Марцинкевича: для любой непрерывной функции f(x) на [a, b] можно построить такую последовательность сеток, на которой интеполяционный процесс сходится равномерно к f(x).

Из теоремы Фабера следует, что нет равномерной сходимости при интерполировании многочленов, поэтому на практике эти многочлены заменяют на кусочно-полиномиальные функции, называемые сплайнами.

Обычно применяют параболические, кубические, линейные сплайны.

Интерполяция сплайнами. Пусть отрезок [a, b] разбит точками на n частичных отрезков. Сплайном степени m называется функция, обладающая следующими свойствами:

1) функция непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными до некоторого порядка p.

2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице.

Интерполирование широко используется при интегрировании.

Численное интегрирование

Пусть f(x) определена и интегрируема на [a, b]. Задача численного интегрирования состоит в приближенном вычислении по известным значениям подынтегральной функции в некоторых точках из [a, b].

Численное интегрирование выполняется по формулам, называемым квадратурными:

, (2)

где — квадратурные коэффициенты;

-узлы интегрирования.

Коэффициенты находятся из СЛАУ:

На практике подынтегральная функция f(x) заменяется на аппроксимирующую функцию. Часто в качестве аппроксимирующей функции используют полином Лагранжа:

(3)

Интерполяционная квадратурная формула (3) по равноотстоящим узлам () называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса:

, где ,

— коэффициенты Котеса,

,

Свойства коэффициента Котеса:

1.  Коэффициент для узлов равноудаленных от концов отрезка равны:

2.  Сумма всех коэффициентов на [a, b] равна 1:

3.  При n=8, при среди появляются отрицательные значения, что ведет при вычислении к увеличению погрешности. Поэтому квадратурные формулы строятся с малым числом n.

Рассмотрим частные случаи.

При n=0 (аппроксимация многочленом Лагранжа 0-ой степени), получаем формулу прямоугольников. В зависимости от точки, в которой считается высота, выделяют 3 формулы прямоугольников: левых, средних и правых прямоугольников.

Если отрезок [a, b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по:

1.  Формуле левых прямоугольников: 

2.  Формуле правых прямоугольников: 

3.  Формуле прямоугольников (средних): 

В случае разбиения отрезка интегрирования на n элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1.  Для левых прямоугольников: 

2.  Для правых прямоугольников: 

3.  Для средних прямоугольников: 

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

,

где h — шагсетки.

При вычислении интеграла величину погрешности можно определить, оценив остаточный член R согласно нижеприведенным формулам:

1.Остаточный член для левых прямоугольников:

2.Остаточный член для правых прямоугольников:

3. Остаточный член для средних прямоугольников: ,

где

Рис 1. Графическая интерпретация формулы средних прямоугольников.

При n=1 (аппроксимация многочленом Лагранжа 1-ой степени), получаем формулу трапеции.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод