Интерполяция сплайнами

При построении интерполяционной формулы Ньютона не учитываются никакие условия на раположение и нумерацию узлов интерполирования. Это означает, что нумировать узлы можно произвольным образом и как частный случай нумеровать их в порядке убывания.

Тогда вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

Интерполяционный процесс сходится равномерно, если: =0

Теорема Фабера о сходимости интерполяционного процесса: какой бы ни была последовательность сеток найдется такая непрерывная функция f(x) на [a, b], для которой интерполяционный процесс не сходится равномерно на [a, b].

Теорема говорит о том, что универсальной системы сеток нет, для которой многочлен Лагранжа всегда бы сходился к функции равномерно.

Теорема Марцинкевича: для любой непрерывной функции f(x) на [a, b] можно построить такую последовательность сеток, на которой интеполяционный процесс сходится равномерно к f(x).

Из теоремы Фабера следует, что нет равномерной сходимости при интерполировании многочленов, поэтому на практике эти многочлены заменяют на кусочно-полиномиальные функции, называемые сплайнами.

Обычно применяют параболические, кубические, линейные сплайны.

Интерполяция сплайнами. Пусть отрезок [a, b] разбит точками на n частичных отрезков. Сплайном степени m называется функция, обладающая следующими свойствами:

1) функция непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными до некоторого порядка p.

2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице.

Интерполирование широко используется при интегрировании.

Численное интегрирование

Пусть f(x) определена и интегрируема на [a, b]. Задача численного интегрирования состоит в приближенном вычислении по известным значениям подынтегральной функции в некоторых точках из [a, b].

Численное интегрирование выполняется по формулам, называемым квадратурными:

, (2)

где — квадратурные коэффициенты;

-узлы интегрирования.

Коэффициенты находятся из СЛАУ:

На практике подынтегральная функция f(x) заменяется на аппроксимирующую функцию. Часто в качестве аппроксимирующей функции используют полином Лагранжа:

(3)

Интерполяционная квадратурная формула (3) по равноотстоящим узлам () называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса:

, где ,

— коэффициенты Котеса,

,

Свойства коэффициента Котеса:

1.  Коэффициент для узлов равноудаленных от концов отрезка равны:

2.  Сумма всех коэффициентов на [a, b] равна 1:

3.  При n=8, при среди появляются отрицательные значения, что ведет при вычислении к увеличению погрешности. Поэтому квадратурные формулы строятся с малым числом n.

Рассмотрим частные случаи.

При n=0 (аппроксимация многочленом Лагранжа 0-ой степени), получаем формулу прямоугольников. В зависимости от точки, в которой считается высота, выделяют 3 формулы прямоугольников: левых, средних и правых прямоугольников.

Если отрезок [a, b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по:

1.  Формуле левых прямоугольников: 

2.  Формуле правых прямоугольников: 

3.  Формуле прямоугольников (средних): 

В случае разбиения отрезка интегрирования на n элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1.  Для левых прямоугольников: 

2.  Для правых прямоугольников: 

3.  Для средних прямоугольников: 

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

,

где h — шагсетки.

При вычислении интеграла величину погрешности можно определить, оценив остаточный член R согласно нижеприведенным формулам:

1.Остаточный член для левых прямоугольников:

2.Остаточный член для правых прямоугольников:

3. Остаточный член для средних прямоугольников: ,

где

Рис 1. Графическая интерпретация формулы средних прямоугольников.

При n=1 (аппроксимация многочленом Лагранжа 1-ой степени), получаем формулу трапеции.