Учебные материалы по математике | Интегрирование тригонометрических рациональных выражений | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Интегрирование тригонометрических рациональных выражений


Итак, интеграл от любой рациональной дроби выражается через элементарные функции. Кроме рациональных дробей в элементарных функциях интегрируются также и ряд других классов функций. Как правило, интегралы от таких функций сводятся подстановкой к интегралу от рациональной дроби, т. е. подстановка рационализирует интеграл от рассматриваемой функции.

6.  Интегрирование тригонометрических рациональных выражений.

Интегралы типа в общем случае рационализируются

тригонометрической подстановкой . В новых переменных

____________________________________________

Формула 10 таблицы (стр. 5).

Пример 18.

Пользуясь заменой , вместо исходного, получим следующий интеграл

Частные случаи вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции.

a) Интегралы вида: , где хотя бы одно из чисел n или m нечетные числа, вычисляются заменой переменной путем отделения одного множителя.

Пример 19.

Выделяется множитель , который является дифференциалом , =-. Отсюда подстановка и интеграл сводится к следующему виду:

б) Интегралы вида: где n и m — четные числа вычисляются путем понижения степени вдвое по тригонометрическим формулам

Пример 20.

в) Интегралы , ,

вычисляются также с помощью тригонометрических формул:

,

,

,

которые приводят их к табличным.

Пример21.

, интеграл принимает вид:

8. Интегрирование простейших иррациональных выражений.

Интегрирование линейных иррациональностей.

Интеграл от рациональной функции рационализируется

подстановкой , где n — общий знаменатель всех дробных показателей выражений ax+b, тогда ax+b=un и dx=n/a∙ un-1du

Пример 22.

Положив , получим x+1 = u3, x = u3-1, dx=3u2 du, интеграл примет вид:

Возвращаясь к переменной х, имеем

Интегрирование простейшей квадратичной иррациональности

В этом интеграле >0. Представим подынтегральную функцию в следующем виде

тогда интеграл можно разложить на сумму двух интегралов

.

Первый вычисляется подстановкой u = , du = dx

Второй интеграл

следует рассмотреть отдельно, предполагая конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. С помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата (см. § 4) этот интеграл, в зависимости от вида квадратного трехчлена, сводится к одному из следующих интегралов:

.

Третий интеграл табличный (формула 7), первые два вычисляются так называемой подстановкой Эйлера. Подстановка Эйлера для первого интеграла приводит к следующей формуле:

*

Пример 23.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод