Интегрирование тригонометрических рациональных выражений

Итак, интеграл от любой рациональной дроби выражается через элементарные функции. Кроме рациональных дробей в элементарных функциях интегрируются также и ряд других классов функций. Как правило, интегралы от таких функций сводятся подстановкой к интегралу от рациональной дроби, т. е. подстановка рационализирует интеграл от рассматриваемой функции.

6.  Интегрирование тригонометрических рациональных выражений.

Интегралы типа в общем случае рационализируются

тригонометрической подстановкой . В новых переменных

____________________________________________

Формула 10 таблицы (стр. 5).

Пример 18.

Пользуясь заменой , вместо исходного, получим следующий интеграл

Частные случаи вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции.

a) Интегралы вида: , где хотя бы одно из чисел n или m нечетные числа, вычисляются заменой переменной путем отделения одного множителя.

Пример 19.

Выделяется множитель , который является дифференциалом , =-. Отсюда подстановка и интеграл сводится к следующему виду:

б) Интегралы вида: где n и m — четные числа вычисляются путем понижения степени вдвое по тригонометрическим формулам

Пример 20.

в) Интегралы , ,

вычисляются также с помощью тригонометрических формул:

,

,

,

которые приводят их к табличным.

Пример21.

, интеграл принимает вид:

8. Интегрирование простейших иррациональных выражений.

Интегрирование линейных иррациональностей.

Интеграл от рациональной функции рационализируется

подстановкой , где n — общий знаменатель всех дробных показателей выражений ax+b, тогда ax+b=un и dx=n/a∙ un-1du

Пример 22.

Положив , получим x+1 = u3, x = u3-1, dx=3u2 du, интеграл примет вид:

Возвращаясь к переменной х, имеем

Интегрирование простейшей квадратичной иррациональности