Интегрирование лоду n-го порядка

’’=( x + + )

y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)

(x + ) + p (x + 1) + q x = 0

x (x + +q) + + p = 0

Поскольку дискриминант = 0 = = является решением уравнения (4.1)

Общее решение записывается в виде:

3 случай:

Корни = α + = α — следовательно Д < 0

=

=

По формуле Эйлера: = cos + sin

= ( cosx + i sin x)

= ( cos x — i sinx)

По теореме 3.1. решениями уравнения (4.1) также будут являться

= = cosx

= = sin x

y =cosx +sin x

Таким образом, чтобы решить уравнение (4.1) нужно решить характеристическое уравнение (4.2 а) и выписать решение без интегрирований.

Пункт 4.2 Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n–го порядка (n2) с постоянными коэффициентами + + + …. y = 0 (4.4), где R, решается аналогичного случаю уравнения 2 – го порядка. Выписывается характеристическое уравнение

+ + + ….+ = 0 (4.5) и находится n его корней, в том числе и комплексных

. Корни могут совпадать при кi = kj

Пример : = 0 имеет 3 одинаковых корня. В этом случае кратноcть корня = 3. Если кратность = 1 , то кi называется простым корнем

Cлучай1:

Все корни уравнения (4.5) и не равны друг другу. Тогда общее решение записывается:

y=

Случай 2:

Все корни , но есть и кратные. Тогда корню к, кратности m соответствует линейно независимое решение

y =

Случай 3 :

Среди корней есть комплексно сопряжённые, тогда любой паре αпростых корней соответствует пара решений : cos x sin x. Каждой паре α кратности М, соотв. 2М-реш. cos x ; sinx, … , sinx