Интегрирование лнду методом лагранжа

L[y–y*]=L[y]–L[y*]=f(x)–f(x)=0. у–у* – решение ЛОДУ L[y]=0 ч. т.д.

Интегрирование ЛНДУ методом Лагранжа.

y// + p1(x)y/ + p2(x) = f(x) (1)

p1(x), p2(x), f(x) – непрерывны на [a;b]

y// + p1(x)y/ + p2(x)y = 0 (2)

Предполож., что известна фундомент-ая система реш. y1(x), y2(x)

yо. о = c1y1(x) + c2y2(x)

yо. н = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x)

Найти с1(х) и с2(х) – имеем систему 2-х ур-ий

Продифф-ем

уо. н / = с1/ (x)y1(x) + c1(x)y1/ (x) + c2/ (x)y2(x) + c2(x)y2/ (x) =0

Предположим с1/(x)y1(x) + c2/(x)y2(x) =0 =>

=> уо. н/ = c1(x)y1/(x) + c2(x)y2/(x)

yо. н// = c1/ (x)y1/ (x) + c1(x)y1// (x) + c2/ (x)y2/ (x) + c2(x)y2// (x)

c1/ (x)y1/ (x) + c1(x)y1// (x) + c2/ (x)y2/ (x) +c2(x)y2// (x) +p1(x)( c1(x)y1/ (x) +

+ c2(x)y2/ (x)) + p2(x)( c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x)) = f(x)

c1(x)( y1// (x) + p1(x)y1/ (x) + p1(x)y1(x)) +

=0

+c2(x)( y2// (x) + p1(x)y2/ (x) + p1(x)y2(x))+c1/ (x) y1/ (x) + c2/ (x)y2/ (x)=f(x)

=0

c1/ (x)y1/ (x) + c2/ (x)y2/ (x) = f(x)

c1/ (x)y1(x) + c1/ (x)y1(x) = 0

= W[y1(x); y2(x)] 0

т. е. ранг матр. системы = рангу расширенной матрицы; т. е система совместна – имеет единственное решение

c1/ (x) = φ1(x), c2/ (x) = φ2(x)

c1(x) = ∫φ1(x)dx + c1, c2(x) = ∫φ2(x)dx + c2

yо. н = ( ∫φ1(x)dx + c1 ) y1(x) + ( ∫φ2(x)dx + c2 ) y2(x)

2)  y( n) + p1 y( n -1) + … + pn(x)y = f(x)

y( n) + p1 y( n -1) + … + pn(x)y = 0

y1(x), y2(x) … yn(x) – фундаментальная система решений

c1/ (x)y1 (x) + c2/ (x)y2 (x) + … + cn/ (x)yn (x)= 0

c1/ (x)y1/ (x) + c2/ (x)y2/ (x) + … + cn/ (x)yn/ (x)= 0

c1/ (x)y1 ( n -1)(x) + c2/ (x)y2 ( n -1)(x) + … + cn/ (x)yn ( n -1)(x)= f(x)

12. ЛНДУ с постоянными коэфф. и правой частью спец. вида.

Ln[y] = f(x)

Ln[y] = y(n) + a1y( n –1 ) + a2y( n –2 ) + …+ an -1y – n + any

1)  Ln[y] = Pm(x)eα x, где Pm(x) – многочлен степени m

α – контрольное число α ЄR

1.  α — не явл. корнем кратности К, тогда

у* = am(x) e α x

2.  α – корень характеристического ур-ия

у* = xk Qm(x) e α x

2)  Ln[y] = e α x (Pm(x)cosβx + Ql (x)sinβx )

Pm(x) ,Ql(x) – многочлены в степени m и l с действ. коэфф., причем, они могут быть просто числами или один из них = 0

1. контрольное число не явл. корнем характеристического ур-ия

у* = e α x (Rp(x)cosβx + Sp (x)sinβx )

Rp, Sp (x) от p = max

2. контрольное число явл. корнем характеристического ур-ия

у* = xk e α x (Rp(x)cosβx + Sp (x)sinβx )

Явление резонанса

y// + ω2y = αsinβt

y// + ω2y = 0

λ2 + ω2 = 0

λ = +- i ω

yo. o = c1cos ωt + c2sin ωt = Asin (ωt + δ)

1.  β ≠ ω

у* = Mcosβt + Nsinβt

у* / = — Mβsinβt + Nβcosβt

у* // = — Mβ2 cosβt — Nβ2sinβt

-Mβ2 cosβt — Nβ2sinβt + ω2 Mcosβt + ω2 Nsinβt = asinβt

cosβt : — M β2 + M ω2 = 0 M = 0

sinβt : — N β2 + N ω2 = a N = a / ( ω2 — β2 )

yо. н. = A sin (ωt + δ) + a / ( ω2 — β2 ) sinβt

2. β = ω

у* = t( Mcosβt + Nsinβt)

у* / = Mcosβt + Nsinβt + t( — Mβsinβt + Nβcosβt)

у* // = 2(-Mβsinβt + Nβcosβt ) + t( — Mβ2 cosβt — Nβ2sinβt )

2(-Mωsinωt + Nωcosωt ) + t( — Mω2cosωt — Nω2sinωt ) + +ω2t(Mcosωt — Nsinωt) = asinωt

-2Mωsinωt + 2Nωcosωt = asinωt

sinωt : -2Mω = a => M = — a / 2ω

cosωt : 2Nω = 0 => N = 0

y* = — (a / 2ω) tcosωt

yо. н = A sin (ωt + δ) – (a / 2ωt)cosωt

13. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Нормальные системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности ее решения. Метод исключения.

m

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

m(d2r / dt2) =

m(d2x / dt2) = Fx(t, x,y, z,x /,y /,z /)

m(d2y / dt2) = Fy(t, x,y, z,x /,y /,z /) каноническая система

m(d2z / dt2) = Fz(t, x,y, z,x /,y /,z /) (2)

dx1/dt = f1( t, x1,x2,…,xn )

dx2/dt = f2( t, x1,x2,…,xn ) норм. система (1)

…….. система порядка n

dxn/dt = fn( t, x1,x2,…,xn )

(1)  -> (2)

dx/dt =u dy/dt = v dz/dt = ω

du/dt = (1/m) F1(t, x,y, z,u, v, ω)

dv/dt = (1/m) F2(t, x,y, z,u, v, ω) (1* )

dω/dt = (1/m) F3(t, x,y, z,u, v, ω)

Частным случаем канонич. системы является дифф-ое ур-ие порядка n, разрешенное относительно старшей производной =>

ð  дифф-ое ур-ие порядка n эквивалентно (2).

Cовокупность n-ф-ий x1(t), x2(t), …, xn(t) диффиренцируемых

на (a;b) назыв решением (2), если эти ф-ии обращают ур-ия (2) в тождество для любого t принадлеж. (a;b).

Задача нахождения ф-ии x1(t), x2(t), …, xn(t), удовлетворяющая начальному условию х1(t0) = x10, х2(t0) = x20,…, хn(t0) = xn0 (3) называется з. Коши.

Теорема (существование и единственность решения з. Коши )

Пусть задана норм. система дифф-ых ур-ий

dx i / dt = f i (t, x1 ,…, xn); i =1,2,…,n

и пусть f i (t, x1 ,…, xn) ; определены в некоторой области D c Rn+1 , если существует окресность Ω точки M0( t0, x10, x20,…, xn0) в которой ф-ии f i непрерывны по совокупности аргументов и имеют огр. частную производную

df i / dx j ; i = 1,…,n; j = 1,…,n

то найдется интервал (t0 – δ ; t0 + δ) на котором существует решение (2) удовлетворяющее начальному условию (3)

Опр. : Совокупность n-дифф-ых по t ф-ий

x1 = x1 (t, c1 , c2 ,…, cn );

x2 = x2 (t, c1 , c2 ,…, cn );

…..

xn = xn (t, c1 , c2 ,…, cn )

называется общим решением (2), если в некоторой области Ω существование и единственность решения з. Коши пополняется след. условиями

1)x i = x i (t, c1 , c2 ,…, cn ) обрашают ур-ие (2) в тождество для любого c1 , c2 ,…, cn

2)x i = x i (t, c1 , c2 ,…, cn ) решают любую з. Коши в окресности Ω точки М0.

Решения получающиеся из общего при конкретных постоянных c1 , c2 ,…, cn – частные решения

x1 = x1 (t, c1 , c2 ,…, cn );

x2 = x2 (t, c1 , c2 ,…, cn );

…..

xn = xn (t, c1 , c2 ,…, cn )

график частных решений представляет собой параметрически заданную кривую и называются интегральной кривой, тогда з. Коши

получает след геометрическую интерпритацию

—  в Ω (t, c1 , c2 ,…, cn ) найти интегральную кривую проходящую через заданную точку М0