Интегралы от неограниченных функций

59.Интегралы от неограниченнх ф-ий

Если ф-ия не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при <c и c<x ,то несобственный интеграл от этой ф-ии определяется формулой

(1)

Где .В случае получаем или получаем

(2)

(3)

Несобственный интеграл (2) или (3) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл (1)называется сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части.

Для интегралов от неограниченных ф-ий справедливы теоремы :

Теорема 1

Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится, то расходится .

Теорема 1

Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится, то расходится .

Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений. В качестве ф-ии, с которой связывают подынтегральную ф-ию ,часто выбирают Легко видеть, что сходится при a<1,расходится при a.

60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав. назыв-ся порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая ф-ия зависит от одной переменной, то соответствующее диф. урав — ие назыв. обыкновенным . Если искомая ф-ция зависит от нескольких переменных, то соответсв-ее диф. уравнение назыв. Уравнением с частными производными .Обыкновенными диф-ое уравн. n-ого порядка в общем виде можно записать так:

=0 (1)

Где x-независимая переменная ; y=y(x) искомая ф-ия переменной -ее производные; — заданная ф-ия своих аргументов. Отметим, что ф-ия может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнениях n-ого порядка).

Если уравнение (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то его можно представить в виде .(2)

Ф-ия , определ. и непрерывно диф-ая n раз в интервале (a,b) назыв. решением диф-ого уравнения (1)в этом интервале, если она обращает указанное уравнение в тождество, т. е.