Интегралы от функции комплексного переменного

Методические указания

к контрольной работе по теме «Интегралы от функции комплексного переменного, ряды, теория вычетов»

(Бабенко А. С.)

Задача 1. Вычислить

Решение.

1) Зададим контур

Задача 2. Вычислить интеграл

Решение.

1) Функция не является аналитической в точках , кратности 1, и 2, кратности 2.

2) Обе точки лежат вне контура .

3)

Задача 3. Вычислить интеграл

Решение.

1) Функция не является аналитической в точках , кратности 1, и 2, кратности 2.

2) Точка лежит внутри контура , точка 2 лежит вне контура .

3)

Задача 4. Вычислить интеграл

Решение.

1) Функция не является аналитической в точках , кратности 1, и 2, кратности 2.

2) Точка лежит вне контура , точка 2 лежит внутри контура .

3)

Задача 5. Вычислить интеграл

Решение.

1) Функция не является аналитической в точках , кратности 1, и 2, кратности 2.

2) Обе точки лежат внутри контура , следовательно, необходимо разложить дробь на сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов.

3)

Задача 6. Разложить функцию в ряд Лорана функцию .

Решение.

1) Представим дробь на сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов.

2) Точки, в которых функция не существует, 1 и –3. Следовательно, вся плоскость разбивается на 3 области.

I. II. III.

3) Разложим каждую из дробей в ряд Лорана

I.

ряд является сходящимся.

ряд является сходящимся.

II.

ряд является сходящимся.

ряд является сходящимся.

III.

ряд является сходящимся.

ряд является сходящимся.

Задача 7. Найти особые точки функции и определить их тип .

Решение.

Особыми точками являются точки, в которых знаменатель равен нулю, 0, и бесконечность.

1) точка является простым полюсом.

2) точка является простым полюсом.

3) воспользуемся разложением в ряд Лорана.

в разложении в ряд Лорана в окрестности точки 0 в главной части бесконечно много членов точка 0 является существенно особой точкой.

4) точка является устранимой особой точкой.

Задача 8. Вычислить интеграл с помощью теории вычетов.

Решение.

1) Особыми точками являются 1 и 3, которые являются простым полюсом и полюсом порядка 2 соответственно.

2) Обе точки лежат внутри контура , следовательно, необходимо вычислить вычеты в обеих точках.

3)