Учебные материалы по математике | Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции


по различным траекториям от точки до точки

(вдоль прямой; вдоль ломаной со сторонами параллельно осям координат; по верхней полуокружности).

Решение

Преобразуют функцию :

.

Выделяют действительную и мнимую части

,

.

Проверяют условия Коши-Римана и следующим образом:

,

.

Условия Коши-Римана выполняются. Функция является аналитической на всей комплексной плоскости, следовательно, данный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования .

Для вычисления интеграла применяют метод интегрирования по частям и формулу Ньютона-Лейбница:

,

.

1.3. Интеграл по замкнутому контуру

от аналитической функции.

Теорема Коши для односвязной и для −связной области.

Интегральная формула Коши

При исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек в различных приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного рассматриваются интегралы по замкнутым кривым – границам областей, в частности окрестности точек.

Пусть непрерывная однозначная аналитическая функция. Для нее выполняются условия Коши-Римана (11):

, .

Известно, что , если выполняется условие (12):

 .

Исследуют .

Получают аналогичные условия

, .

Полученные условия совпадают с условиями Коши-Римана, которые выполняются для функции в силу предположения о том, что функция является аналитической.

Теорема Коши для односвязной области

Пусть − односвязная область, − любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области .

Если функция является аналитической в области и на самом контуре, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

. (16)

Справедлива и обратная теорема – теорема Морера.

Теорема Морера

Пусть однозначная функция непрерывна в односвязной области и интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области от функции , равен нулю, тогда функция является аналитической функцией.

Если область замкнутая односвязная область, функция аналитическая в этой области, то в качестве замкнутого контура можно взять границу области .

Рассмотрим обобщение данной теоремы Коши на многосвязные области, ограниченные не самопересекающимися контуром и простыми замкнутыми контурами , лежащими внутри общего контура и вне друг друга.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод