Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции
по различным траекториям от точки
до точки
(вдоль прямой; вдоль ломаной со сторонами параллельно осям координат; по верхней полуокружности).
Решение
Преобразуют функцию :
.
Выделяют действительную и мнимую части
,
.
Проверяют условия Коши-Римана и
следующим образом:
,
.
Условия Коши-Римана выполняются. Функция является аналитической на всей комплексной плоскости, следовательно, данный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования
.
Для вычисления интеграла применяют метод интегрирования по частям и формулу Ньютона-Лейбница:
,
.
1.3. Интеграл по замкнутому контуру
от аналитической функции.
Теорема Коши для односвязной и для −связной области.
Интегральная формула Коши
При исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек в различных приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного рассматриваются интегралы по замкнутым кривым – границам областей, в частности окрестности точек.
Пусть непрерывная однозначная аналитическая функция. Для нее выполняются условия Коши-Римана (11):
,
.
Известно, что , если выполняется условие (12):
.
Исследуют .
Получают аналогичные условия
,
.
Полученные условия совпадают с условиями Коши-Римана, которые выполняются для функции в силу предположения о том, что функция является аналитической.
Теорема Коши для односвязной области
Пусть − односвязная область,
− любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области
.
Если функция является аналитической в области
и на самом контуре, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
. (16)
Справедлива и обратная теорема – теорема Морера.
Теорема Морера
Пусть однозначная функция непрерывна в односвязной области
и интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области
от функции
, равен нулю, тогда функция
является аналитической функцией.
Если область замкнутая односвязная область, функция
аналитическая в этой области, то в качестве замкнутого контура можно взять границу области
.
Рассмотрим обобщение данной теоремы Коши на многосвязные области, ограниченные не самопересекающимися контуром и
простыми замкнутыми контурами
, лежащими внутри общего контура
и вне друг друга.