Учебные материалы по математике | Интеграл коши | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Интеграл коши


Замечание.

Вывод: Аналитичность подынтегральной функции внутри замкнутого контура интегрирования не является необходимым условием равенства 0 интеграла по этому контуру.

§7. Интеграл Коши.

Пусть f(z)ÎC¥(`g). Выразим f(z0) z0 Îg через значения f(z) на ¶g. Рассмотрим j(z)=ÎC¥(`g/z0). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур g, чтобы точка z0 попала внутрь ограниченной им области, то j(z) будет аналитической в двухсвязной области g*, заключенной между ¶g и g. По теореме 6.3.Коши для многосвязной области интеграл от функции j(z) по кривой ¶g+g равен 0: . Т. к. òg-=-òg+, то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность gr с центром в точке z0 и радиуса r. Положив на gr x= z0+reij, dx= ireijdj, получим

f(x)dj=i[f(x)-f(z0)]dj+ if(z0)dj=iI+i2pf(z0).

Оценим I. I£2p |f(x)-f(z0)|. Устремим r®0 при этом. x(r)®z0.Т. к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для "e>0 $d(e)>0 такое, что как только |x(r)-z0|<d =>|f(x)-f(z0)|< e. А это значит, что при r®0 I®0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от r, то переходя к пределу в обоих частях, получим

интегральную формулу Коши: f(z0)= .

Замечания.

1.  Для аналитической функции достаточно знать значения функции на некотором замкнутом контуре, чтобы вычислить значение этой функции в любой точке внутри этого контура. Это еще раз показывает, насколько сильным является требование аналитичности.

2.  Формула верна как для g односвязной, так и g — многосвязной, только в последнем случае ¶g+- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

3.  Интеграл вида I(z0)= имеет смысл для " положения точки z0 на комплексной плоскости при условии, что z0϶g. Если, то I(z0)=f(z0), если z0Ïg, то I(z0)=0, поскольку в этом случае подынтегральная функция j(x)=ÎC¥(g) является аналитической всюду в g. При z0ζg в обычном смысле не $, однако, при дополнительных требованиях на поведение функции f(x) на контуре границы этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если f(x) удовлетворяет на ¶g условию Гельдера: |f(x1)-f(x2)|<C|x1-x2|d, 0<d<1 (Гельдер — непрерывна), то $ главное значение по Коши интеграла I(z0): V. p.I(z0)=, где ge представляет собой часть контура ¶g, лежащую вне круга |x-z0|<e. При этом V. p.I(z0)=1/2 f(z0).

Окончательно для f(z)ÎC¥(g ) можно записать:

4.  Формула верна и для " контура C+Ìg, который можно стянуть к z0, оставаясь внутри g.

Следствия интеграла Коши f(z)ÎC¥(g ).

1.  Формула среднего значения. Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность с центром в z0 и радиусом R, целиком лежащую в g. Тогда f (z0)= =

=f(z0+Reij)dj= f(x)dx, (СRÌg)- формула среднего значения.

2.  Принцип максимума модуля.

Теорема. Если f(z)ÎC¥(`g) и f(z)¹const, то |f(z)| достигает своего максимального значения только на ¶g.

Доказательство (от противного). Пусть $ z0Îg: |f(z0)|=M ³|f(z)|, для любой точки zÎ`g. По формуле среднего значения M=££M => =M. (CR-окружность |z-z0|=R, CRÌg; x= z0+Reij). Докажем, что отсюда =>|f(x)|=M ("xÎCR). Действительно, |f(x)| £M для "xÎCR по предположению. Далее, пусть в некоторой x0ÎCR |f(x0)|<M. Тогда, т. к. |f(x)|ÎС(CR)=> $ дуга gR (x0ÎgR) (некоторая окрестность точки x0), на которой |f(x)|£M-e, e>0 (а на остальной части окружности |f(x)| =M для "xÎCR/gR). Тогда |f(x)|dx=|f(x)|dx+|f(x)|dx£

£ (M-e)LgR/2pR+M(2pR-LgR)/2pR=M-eLgR/2pR<M. Чего быть не может. Значит на окружности CR нет точки, в которой |f(x)|<M => |f(x)|=M ("xÎCR) => |f(x)|=M ("xÎCR’ : |z-z0|=R'<R) => |f(x)|=M ("xÎK0 : |z-z0|£R) => |f(z*)|=M для " z*Îg. Покажем это. Соединим точки z0 (для этой точки мы доказывали выше) и произвольную точку z* кривой LÌg, отстоящей от ¶g не меньше чем на d>0. Возьмем z1= CRÇL. Т. к. |f(z1)|=M, то |f(x)|=M (xÎK1 : |z-z1|£R1, R1£d). Далее возьмем z2= CR1ÇL и продолжая данный процесс, за конечное число шагов получим, |f(x)|=M ("xÎKn : |z-zn|£Rn) и z*ÎKn.

Итак, если |f(z)| принимает максимальное значение M в некоторой внутренней точке области, то |f(z)|ºM во всей области => из условий Коши-Римана для модуля и аргумента (f(z)=R(x, y)eiF(x, y) :Rx=RFy, Ry=-RFx)=> f(z)ºconst "zÎg. Получили противоречие. Доказали, что если |f(z)|¹const, то она не может достигать max. во внутренних точках области. Но т. к. |f(z)|ÎC(`g), то она должна достигать max. в некоторой zÎ`g => |f(z)| должна достигать max. в граничных точках. n

Замечания.

1.  Если f(z)ÎC¥(`g), и f(z)¹0, для "zÎ`g, то имеет место принцип минимума модуля. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию j(z)=1/f(z) и воспользоваться принципом максимума модуля.

2.  Теорема верна как для односвязной, так и для многосвязной области.

3.  Геометрическая интерпретация. Действительная функция двух действительных переменных |f(z)|=(u2(x, y)+v2(x, y))1/2, если f(z) аналитическая не имеет в g локальных экстремумов, а может иметь лишь седловые точки. Линии равного уровня этой функции (если f¹const) не замкнуты, т. е. упираются в границу области g, либо уходят на бесконечность в случае неограниченной области. Внутри области нет точек, в которых функция возрастала бы или убывала по всем направлениям.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод