Интеграл дифференциального бинома

Интеграл вида , где R — рациональная ф-я и целые числа, с помощью подстановки , где n-наименьшее общее кратное чисел , приводится к интегралу от рациональной ф-и.

Интеграл дифференциального бинома

где n, m,p — рац. числа ; a, b- постоянные. отличные от нуля, сводится к интегралу от рац. ф-и в трёх случаях:

1)котда p-целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона при ; подстановкой , где N — общий знаменатель дробей m и n;

2)когда — целое число, — подстановкой , где s — знаменатель дроби p;

3)когда — целое число, — подстановкой

53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.

Пусть ф-я определена на отрезке . Разобьём отрезок точками . Длина каждого . Выберем в каждом из частичных отрезков точку .

Рассмотрим сумму Эта сумма наз. частично интегральной суммой ф-и на отрезке. Геометрически сумма предст. собой алгебраич. сумму площадей прямоугольников, в основании кот. лежат отрезки , а высоты равны .

Предел интегральной суммы , найденный при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стрем. к 0, ( мелкость разбиения стрем. к 0 ) наз. определённым интегралом функции в пределах от до

Теорема: если ф-я непрерывна на , то она интегрируема на , т. е. предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек .

Если на, то геометрически опр. интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком , осью ОХ и двумя прямыми и , называемый криволинейной трапецией.

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  , то

6. 

7. 

8.  , , то

9.  ф-я непрерывна на отрезке, ,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка , такая, что

10. −я непрерывна и,то имеет место равенство Ф-я наз. определённым интегралом с переменным верхним пределом.