Геометрические и физические приложения двойного интеграла

3)∫∫∫V f*dv = =.∫∫∫V1 f*dv+∫∫∫V2 g*dv = V=V1UV2

4)если f (x,y,z)≥0, то ∫∫∫V f*dv≥0

5)∫∫∫V dv = V – объём тела V.

6) Теорема о среднем сущ. токая (·) M0 (x0, y0, z0) Є тему V, что ∫∫∫V fdv = f(x0, y0, z0) * Vт, Vт – объём тела.

10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

1.Объём тела – из геометрического смысла двойного интеграла известно, что V тела =0. Vт=∫∫Д f(x, y) dxdy (3)

Д – проекции тела на плоскость xoy.

2.Площадь плоской фигуры; Если в формуле (3) f(x, y)=1, то цилиндрическое тело превращается в прямой цилиндр с высотой H=1, V такого тела = площади основания Д, то есть ∫∫Д dxdy=SД в полярных координатах

∫∫Д rdrdφ=SД

3.Масса плоской пластинки из физического смысла двойного интеграла известно, что m=∫∫Д γ(x, y) dxdy, где γ(x, y) – поверхностная плотность пластины.

4.Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры Д относительно осей ох и оу =(Sx=∫∫Д y*γ(x, y) dxdy, Sy=∫∫Д x*γ(x, y) dxdy); где γ(x, y)

Координаты центра масс фигуры Д= xc=Sy/m; yc=Sx/m.

Применение двойного интеграла не исчерпывается приведенными формулами они значительно шире.

12.Вычисление тройного интеграла.

Сводиться к вычислению 3 определенных интегралов. Пусть областью интегрирования V явл. тело ограниченное снизу поверхностью z=z1*(x, y), с верху z=z2*(x, y), причём z2> z1 проекции тела V на плоскость хоу явл. областью Д.

V – правильная в направление оси oz, тогда для любой непрерывно функции Vx, y,z, заданно в области V имеет место формула. ∫∫∫Vf(x, y, z)dxdydz=∫∫Д(∫z1(x,y) z2(x,y)f(x, y, z) dz) dxdy (2)

Если область Д ограничена линиями x=a, x=b, y=φ1x, y=φ2x, (φ2(x)≥φ1(x)), то формула (2) имеет вид.

∫∫∫V f(x, y, z)dxdydz=∫abdx∫φ1(x) φ2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y) f(x,y,z)dy (3)

Тройной интеграл свели к повторным

Замечание: 1)Если область V – сложное, то её надо разбить на конечное число просто правильных областей.

2)Порядок интегрирования в формуле (3) может быть любым.

13.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.

Часто применяют метод подстановка. Пусть производиться подстановка x = φ(u, v,ω), y=Ψ(u, v,ω), z=&(u, v,ω), составим якобиан.

J = |ðx/ðu ðx/ðv ðx/ðω ≠ 0

ðy/ðu ðy/ðv ðy/ðω

ðz/ðu ðz/ðv ðz/ðω

Справедлива формула замены переменных ∫∫∫Vf(x, y, z)dxdydz= ∫∫∫Vf(u, v, ω)*|J|dudvdω;

Наибольшее удобно переходить к цилиндрическим координатам. Положение (·) М (x, y, z) в пространстве oxyz, можно определить заданием 3 чисел r, φ, z, где r – длина проекции радиуса вектора (·) M на плоскость xoy. φ – угол образований этой проекции с осью ох. z – опликата (·) М.

Числа r, φ, z называется цилиндрическими координатами. Цилиндрические и декартовые координаты связаны по формулам: x=r *Cos φ; y = r*Sin φ; z = z

r≥0, 0≤φ≤2π; z Є R Составим Якобиан для цилиндрических координат

J = |Cos φ — r sin φ 0 = cos φ — r sin φ= r* Cos ²φ+r*Sin²φ=2

Sin φ r cosφ 0 sin φ r cos φ

0 0 1|

Замечании: К цилиндрическим координатам удобно переходить когда область определение цилиндрическая поверхность.

14.Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия. Задача Коши.

Основные понятия: Соотношение (F(x, y,y‘…yⁿ)=0 (1)

Связываем x, y и производные y‘ – наз. ДУ. Если уравнение (1) можно записать в форме yⁿ=f(x, y, y‘,…yn-1) (2) говорят, что ДУ решено относительно старшей производной или ДУ в нормальной форме. ДУ в катаром функции у зависит от одной переменной наз. обыкновенной (ОДУ). Если ДУ зависит от нескольких переменных, то имеет диф. уравнений в частных производными. Мы будем расм. ОДУ. Порядок ДУ определяется наивысшей производной входящей в ДУ. Решение или интегралом ДУ наз. такая функции y=y(x), что при подстановке в уравнении (1) вместе с производными получаем тождество. Всякому решение ДУ на плоскости соответствует некоторая кривая y=y(x),которая наз. интегральной кривой. Процесс нахождения решения ДУ наз. интегрированием ДУ. ДУ имеет бесчисленное множество решений.

ДУ I первого порядка. Общий вид F (x, y, y‘)=0 (3)