Гармонические функции

Наоборот, если в открытой области существут и непрерывны все четыре частные производные и при этом выполнено в этой области условие (C-R), то функция аналитична.

Доказательство. Если f(z) аналитична, то рассмотрев два случая Δz=Δx и Δz=iΔy, получаем следующие значения производной: f'(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x и f'(z)=-i∂u/∂y+∂v/∂y. Приравнивая действительные и мнимые части в равенстве ∂u/∂x+i∂v/∂x = — i∂u/∂y+∂v/∂y, получаем условия Коши-Римана.

Наоборот, если условия Коши-Римана выполнены и частные производные непрерывны, то, учитывая дифференцируемость функций u и v, выводим:

для некоторой б. м. α . Устремляя Δz к нулю, получаем, что производная w’z существует и равна u’x+iv’x. □

9  Гармонические функции

Дифференциальный оператор Δ =∂2/∂x2 + ∂2 / ∂y2 называется оператором Лапласа, а решения дифференциального уравнения Лапласа

∂2u / ∂x2 + ∂2u/∂y2 =0

называют гармоническими функциями. Например, все линейные функции гармоничны. Квадратичная форма гармонична тогда и только тогда, когда т. е. .

Сформулируем две физические задачи, для которых математической моделью является уравнение Лапласа.

А. Пусть D — физическая однородная пластинка, одинаковой толщины, теплоизолированная снизу и сверху. Обозначим через u(x, y) температуру в точке (x, y)∈ D. Полагаем, что температура на границе пластинки ∂D нам известна и поддерживается так, что она не зависит от времени. Тогда u(x, y) — гармоническая функция, т. е. u(x, y) — решение уравнения Лапласа с граничным условием, заданным распределением температуры на границе пластинки.

Б. Пусть Γ — проволочный каркас, помещенный в пространство Oxyu так, что кривая Γ есть график функции u(x, y), (x, y)∈ L, а L — замкнутая гладкая кривая в плоскости Oxy (как, например, окружность), ограничивающая область D. Натянем на проволочный каркас мыльную пленку, и пусть функция u(x, y), (x, y)∈ D описывает вид этой мыльной пленки. Иными словами, мыльная пленка есть график функции u(x, y) с областью определения D. Тогда u(x, y) — гармоническая функция.

Предложение. Если f(z)=u+iv — аналитическая функция, то u и v — гармонические функции.

Доказательство. Имеем:

∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 =

Аналогично доказывается, что v — гармоническая функция.

Более точно, функции u(x, y) и v(x, y) называются сопряженными гармоническими функциями.

В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид

10  Степенные ряды

Пусть

Через R обозначим радиус сходимости ряда (1). Тем самым ряд (1) равномерно сходится к в любом замкнутом круге при условии . В частности будет непрерывной функцией на открытом круге .

Теорема. Функция S(z) аналитична в круге сходимости и

При этом ряд в правой части (2) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (1).

Далее будут рассматриваться также и ряды вида

Такие ряды заменой сводятся к степенным рядам по степеням ζ . Из теоремы Абеля вытекает:

Следствие. Существует неотрицательное действительное число r или +∞ такое, что ряд (3) сходится абсолютно в области |z-z0| >r, и его сумма — аналитическая в это

Пример. Ряд -…. сходится в области , и его сумма совпадает в этой области с функцией .

11  Основные функции комплексной переменной

11.1  Экспонента

Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда

— разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и

Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

11.2  Тригонометрические и гиперболические функции

Синусом комплексного переменного называется функция

Косинус комплексного переменного есть функция

Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:

Гиперболический косинус комплексного переменного — это функция

Отметим некоторые свойства вновь введеных функций.

A. Если x∈ ℝ , то cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:

В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества:

Доказательство основного гиперболического тождества:

Доказательство основного тригонометрического тождества:

(применено свойство Б)

Г Формулы сложения:

В частности,

Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:

Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.

Ж. (Периодичность) Функция ez периодична с периодом 2π i. Функции cos z, sin z периодичны с периодом 2π , а функции ch z, sh z периодичны с периодом 2πi. Более того,