Учебные материалы по математике | Функция лапласа

где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х).

/class=»MsoTableGrid» cellpadding=»0 » style=’border-collapse:collapse;border:none’>

40. Каждой числовой характеристике случайной величины X соответствует ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения — математического ожидания случайной величины – такой является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:

42. Статистическое оценивание, совокупность способов, употребляемых в математической статистике для приближённого определения неизвестных распределений вероятностей по результатам наблюдений. В наиболее распространённом случае независимых наблюдений их результаты образуют последовательность

X1, X2,…, Xn,… (1)

независимых случайных величин (или векторов), имеющих одно и то же (неизвестное) распределение вероятностей с функцией распределения F (x). Часто предполагают, что функция F (x) зависит неизвестным образом от одного или нескольких параметров и определению подлежат лишь значения самих этих параметров [например, значительная часть теории, особенно в многомерном случае, развита в предположении, что неизвестное распределение является нормальным распределением, у которого все параметры или какая-либо часть их неизвестны.

43. Предположим, что имеется выборка X [n ] (X 1 , …,X n ) из генеральной

совокупности с функцией распределения F (x) , принадлежащей некоторому

семейству распределений ℑ. Пусть θ — параметр, однозначно определяемый по каждому распределению F из семейства ℑ. Например, θ x dF (x) .

Следовательно, θ θ(F ) — это функционал распределения F ∈ℑ. Часто предполагают, что само семейство распределений ℑ определяется одним или

несколькими параметрами. Тогда любая F ∈ℑ есть функция распределения

F (x,θ) или F (x,θ , …,θ ) , зависящая от одного или нескольких параметров.

13.Формула Пуассона

Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний. При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

где.

Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом!!n,, и сравнительно небольшом!!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными.

46. Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что Тогда распределение случайной величины где называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

Пусть на вероятностном пространстве заданы две случайные величины: Каждому элементарному событию ставится в соответствие упорядоченная пара значений (x, y)случайных величин X, Y.

Упорядоченную пару(X, Y) двух одномерных случайных величинX, Y называют двумерной случайной величиной. Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин. Одномерные случайные величиныX, Y называются компонентами двумерной случайной величины (X, Y)

Функцией распределения двумерной случайной величины(X, Y) называется вероятность произведения событий и , определенная для любых вещественных x, y : . (1)

ФункцияF(x, y) для краткости называется двумерной функцией распределения.

44. Пусть — неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа такие чтобы выполнялось неравенство:

Интервал является доверительным интервалом для параметра а число доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1

45. Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения F * (x) и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — т. е. соответствующего гипотезе H0) распределения F(x) производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.