Функциональные ряды и область сходимости

2.2. Функциональные ряды. Область сходимости.

Равномерная сходимость. Свойства.

Степенные ряды с комплексными членами

функциональным рядом в комплексной области называется ряд

, (23)

членами которого являются функции комплексного переменного, определенные на некотором множестве комплексной плоскости.

Функциональный ряд называется сходящимся на множестве , если на этом множестве существует предел последовательности его частичных сумм:

,

или для .

Значение называется суммой ряда.

Множество точек , для которых сходится ряд , называется областью сходимости функционального ряда.

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм , т. е.

для .

Свойства равномерно сходящихся рядов

Равномерно сходящиеся ряды от непрерывных функций комплексного переменного на множестве обладают свойствами конечных сумм:

1) сумма ряда является непрерывной функцией на множестве ;

2) ряд можно почленно интегрировать;

3) ряд, составленный из аналитических функций можно почленно дифференцировать.

Признак Вейерштрасса

(достаточный признак равномерной сходимости)

Если ряд на некотором множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами , то он сходится на области равномерно.

Ряд вида

= , (24)

где  − комплексная переменная;  − комплексные числа, является степенным рядом в комплексной области.

При степенной ряд принимает вид

= . (25)