Формулы и определения вышки

1.СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

Случайное событие – это такое событие, которое при воспроизведении одного и того же комплекса условий происходит каждый раз несколько по иному.
Операции над событиями:

Будем говорить, что событие А влечет за собой событие В, если из наступления события А следует наступление события В.

Равенство событий А=В возможно тогда и только тогда, когда А содержится в В и В содержится в А.
Объединением или суммой (А+В) событий А и В называется событие, состоящие в том, что произошло либо А, либо В, либо оба события одновременно.

Пересечением или произведением (А*В) множеств А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно, т. е. А*В содержит элементарные исходы, входящие одновременно и в А и в В.
Разностью А/В (А-В) событий А и В называется событие, состоящее в том, что событие А произошло, но не произошло событие В.

Противоположным к событию А называется событие Ā, состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло.
Ā содержит те элементарные исходы, которые не входят в множество А.

2.АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. Пусть S – множество всех подмножеств Ω, для которого выполняются следующие свойства:
1) если А ϵ S и В ϵ S, то А+В=АᴗВϵS,
2) если А ϵ S и В ϵ S, то А*В=АᴖВϵS,
3) если А ϵ S, то Ā ϵ S, тогда множество S называется алгеброй событий.

3.ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ.

Вероятностьявляется количественной мерой возможности появления рассматриваемого события.

Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Аксиомы вероятности:
1) Р (А)=p≥0, гдеА ϵ S.

2) Р (Ω)=1.

3) Если события А1, А2,…, Аn несовместные, то верно равенство:
Р(А1+А2+…+ Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Относительная частота появления события А – это отношение числа m1 появлений события А в серии из n1 опытов, к числу испытаний.

4.КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Если пространство элементарных исходов содержит конечное множество элементов, а все исходы равновозможные, то вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов.
P (А) = m(А)/n, где m– число благоприятствующих событию А исходов, n – общее число возможных исходов.
Из классического определения следуют свойства вероятности:
1) 0 ≤ Р (А) ≤ 1,

2) Р (Ω)=1,
А+Ā=Ω – достоверное событие, поэтому Р (А) + Р (Ā) = 1.

5.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которых наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n→∞, называется статистической вероятностью события А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области (такой способ используется и для определения вероятности плоских и пространственных фигур).

6.ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Теорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей:
Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Следствие 1. Если события А1, А2,…, Аnпопарно несовместные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+ Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна единице:

Р(А1+А2+…+ Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)-Р (А*В).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых (если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого) событий А и В равна произведению их вероятностей:
Р (А*В)=Р (А) * Р (В).

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых (обратное независимым) событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В, при условии, что событие А уже произошло:
Р (А*В)=Р (А)*Р (В/А).

7.УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

Условной вероятностью события В, при условии, что событие А уже произошло, называется число Р (АВ) / Р (А), которое обозначается Р (АВ)/Р (А)= Р (А/В)=Ра (В).

Свойства условной вероятности:

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

8.НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

9.ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА.

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий: Н1, Н2,…,Нn, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Р (А)=, где события Н1, Н2,…,Нn, – гипотезы, а Р (А/Нi) – условная вероятность наступления события А при наступлении i-той гипотезы (i=1, 2,…,n).

Условная вероятность гипотезы Нi, при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле Байеса:

Р (Нi/А)=Р (Нi)*Р (А/Нi)/Р (А).

10.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ПОВТОРНЫХ ИСПЫТАНИЙ.

Если испытания являются независимыми и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна, то такие испытания называются повторными независимыми.

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причем каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А)=р – вероятность успеха, Р (Ā)=1-р=q – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из nпроизойдет событие А вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(к)=Скn * рк * qn-k.

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются частной схемой независимых испытаний.

11.ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причем каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А)=р – вероятность успеха, Р (Ā)=1-р=q – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в k случаях из nпроизойдет событие А вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k)=Сkn * рk * qn-k.

12.НАЙВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО УСПЕХОВ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ.

Теорема – наивероятнейшее число наступлений события А в n-испытаниях Бернулли заключены между числами:
np-q, np+p, при этом если np-q целое, то наивероятнейших чисел два.

13.ТЕОРЕМА ПУАССОНА. Теорема (Пуассона) – пусть nдостаточно большое число, пусть р– достаточно близко к нулю, тогда для любого фиксированного mи любого постоянного λ=n*p верно равенство:

Рn(m) =λm* е-λ / m!

14.ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА.

Теорема (локальная) – вероятность того, что в n – независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(р в пределах от 0 до 1), событие наступит ровно k-раз (безразлично в какой последовательности), приближённо равна (тем точнее, чем больше n):
Рn (k) ≈ φ(х) / , где φ(х)=1/*e-(х/2)^2, а х=k-np /.

Теорема (интегральная) – вероятность того, что из n-независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, равна:
Рn (k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1), где Ф(х)=1/,

х1=k1—np / ; х2=k2—np /

Для значений х>5 полагают Ф(х)=0,5.

15.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ.

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет. (Более того, СВ – это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω).
СВ обозначаются последними буквами латинского алфавита – X, Y, Z. СВ могут быть трех типов:
-дискретные,

-непрерывные,

-смешанные.

16.ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.
Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ принимает бесконечное несчетное число значений.