Формула полной вероятности. формула байеса

Вероятность произведения двух произв событий равна произведению вероятности одного из событий на условн вероятность второго, при условии, что первое уже произошло. Распространим теорему умножения на конечное число событий:

События А и В наз независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий. .

Сравнивая получим: .

Следовательно, для независ событий условная и безусловная вероятности совпадают . Для конечн числа независ событий вероятность произведения равна произведению вероятностей: .

6.  Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H1…Hn, образующих полную группу, т. е. Ø, , .

Т. к. события и несовместны, то и () и ( ) являются несовместными. Тогда по теореме сложения .

Применяя теорему умножения к каждому слагаемому, получим формулу полной вероятности: . События H1, H2,…, Hn часто называют гипотезами. Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез, после того, как событие А уже произошло: . По теореме умножения

, . Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса: .

7.  Схема независимых испытаний Бернулли.

Пусть производится послед-ть независ испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: событие А или появится или не появится. Обозначим вероятность появления события , не появления , . Под элемент событием в схеме Бернулли принимается последов-ть наступлений и ненаступлений события А в n испытаниях. Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элемент исход можно представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1). Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз. Найдем сначала вероятность того, что в 3-х испытаниях событие А появится 2 раза при условии, что вероятность наступления в одном испытании равна p. При этом возможны след элемент исходы (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1). Вероятность каждого элементарного исхода одинакова и равна p2q. Т. о., вероятность того, что в 3-х испытаниях событие наступит 2 раза . Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна pmqn-m. Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли

.

Часто интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включительно

8.  Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Если число испытаний П Велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. В то же время большие значения П Позволяют заменять эту формулу приближенными асимптотическими формулами. Рассмотрим три такие формулы.

Теорема 2.5. (Формула Пуассона) Если , так что , то

(2.5)

Формула (2.5) дает хорошие результаты, если Npq<9. Если же Npq>9, то для вычисления вероятности можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа.

Теорема 2.6. (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Вероятность появления события Т раз в П независимых испытаниях при больших значениях П приближенно определяется по формуле

(2.6)

Где

Теорема 2.7. (Интегральная теорема Муавра–Лапласа). Вероятность того, что число появлений события в П независимых испытаниях находится в пределах Т1£ т £ т2 и при больших значениях П приближенно определяется по формуле

(2.7)

Где

Функция Ф(Х) называется Функцией Лапласа. Для функций Ф(Х), ф(х) имеются таблицы ее значений. Функция ф(х ) является четной, а функция Ф(Х) – нечетной, т. е. ;ф(-х) = ф(х), Ф(– Х)= – Ф(Х);

Из интегральной теоремы Лапласа можно вывести формулу для вероятности отклонения относительной частоты Т/п События в серии испытаний от постоянной вероятности Р этого события в одном испытании:

(2.8)

9.  Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Одним из осн понятий теории вероятностей является случ величина. Случ величины бывают дискретные, непрерывные и др. Для того чтобы одинак способом хар-ть случ величины разл природы вводится понятие функции распр-ия вероятностей. Пусть — случ величина и — произв действит число. Вероятность того, что примет значение, меньшее чем , наз функцией распр-ния вероятностей: .

Функция распр-ния вероятностей явл-ся неслуч функцией, а функцией, вычисленной на основании закона распр-ния случ величины.

Случайн наз величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распр-ния вероятностей. Дискретной наз случ величина, которая принимает конечное или счетное множество значений. Счетное множество – число натур чисел. Для полной вероятностной хар-ки дискретной случ величины необходимо знать ее закон распр-ния. Пусть – возможные значения случ величины , — вероятности этих значений. Множество пар , i =1,2,… наз законом распр-ния вероятностей дискретной случ величины. Обычно закон распр-ния изображается в виде таблицы: