Формула полной вероятности

ПР=> сзади.1

Лемма: Если событие А и В независимы => (А, В), (А, В), (А, В) – независимы тоже.

В=АВ+АВ

В несовместных событиях по т-ме сложения: P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AB), P(AB)=P(B) – P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))= P(B)P(A).

Отсюда вытекает т-ма сложения для совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B) — P(AB), P(A)=P(AB)+P(AB), P(B)=P(AB)+P(AB)

P(AB)=P(A) – P(AB), P(AB)=P(B) – P(AB), P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB). Чтд.

Т-ма: если событие А1, А2, …Аn— независимо в совокупности, то вер-ть их произведения равна произведению вер-тей: P(A1,A2…An)=ПР(Аk),

P(A1,A2)=P(A1)P(A2).

Следствие: вероятность наступления хотя бы одного события: P(B)=q1q2..qn В частном случае, если одно и тоже испытание повторяется N раз, то формула примет вид : Р(В)=1-qn.

Док-во: А1,А2…Аn – не произойдут q1,q2….qn – все промажут.

На этом основана эффективность автоорудия.

ПР:=>2

7) Формула полной вероятности. Ф-лы Байеса.

Т-ма: пусть событие А может произойти только при условии наступления 1-го из событий (H1,H2…Hn) – гипотезы, они образуют полную группу.

=>

P(A)=

Док-во: событие А можно представить в виде суммы:

A=AH1+AH2+…+AHn, P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)= по теореме сложения.

Т-ма умножения: P(AHk)=P(Hk)P(aHk) //

∑P(A)=∑P(Hk)P(AHk).

ПР:=>сзади1

8) Последовательные испытания.

Схема Бернули.

Опр-е: последовательные испыт/я наз/ся независимыми, если вер-ть осуществления любого исхода в каждом испытании не зависит от рез-ов предыдущих испытаний.

Простейшим классом послед-х независимых испытаний являются исп/я с 2-мя исходами А и А наз-ся схема Бернули.

P(A)=p, P(A)=q, p+q=1.

A-попал, А-промах.

Найдем вер-ть, что в n испытаниях событие А превзойдет в К раз.

Pn(k)= — формула Бернулли.

ПР. сзади1

9)Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

При больших n и k пользоваться фор-ой Бернулли становится трудно.

n=100, k=23 , P100(23)=C10023p23q77.

Поэтому в этих случаях используется приближенная формала-локальная т-ма Л:

Если вер-ть р в каждом испытании одинакого, то вер-ть того, что в n испыт-ях соб-е А пройдет ровноk раз ≈

Pn(k)=≈ ,

— ф-ла Гауса, φ(-x)=φ(x).

ПР.сзади1

Интегральная т-ма Лапласа

Задача нахождения Pn(k) стоит сравнительно чаще. Гораздо чаще нас интересует вер-ть того, что число наступлений события А запрещено в некоторых пределах:

Pn(k1)+P1(k1+1)+…+Pn(k2)

Эта задача решается с помошью интегр-ой

т-мы Лапласа: если вер-ть наступления события А ≠1, то вер-ть того, что в n испытаниях событие А случится не менее k1 и не более k2 раз.

Pn(A)=p(≠0,≠1), Pn(k1≤k≤k2)≈Ф((k2-np)/npq) – Ф((-np)/npq)

Ф(x)= — формула Лапласа.

Ф(-x)=-Ф(x) – нечетная функция.

Прямые x=+1/2 являются гориз-ми асимп-ми, при этом для x>=3,5, Ф(x)=0,5.

ПР.сзади2

Найдем теперь вер-ть того, что абсол. откл-е частоты от вер-ти не превосходит малого числа ε.

,

.

Сколько нужно провести испытаний вер-ти p>=0,95, чтобы относит частота k 0,1 не более чем на 0,03.

[w-0,1]≤0,003 , 0,07≤w≤0,13.

Воспользуемся полученной формулой:

P([w-0,1]<0,03)≈2Ф()>=0,95, Ф()>=0,475,

По таблице Ф=0,475, получаем ,

, , n>=400.

10)Доказать т-му Бернули об отличии частоты от вер-ти.

Pn(k)=Cnkpkqn—q=f(k)

Найдем вероятную частоту Pn(k)=P(w=k/n). Для этого нужно исследовать на max ф-цию f(k).

Обычный способ нахождения max здесь не годится, т. к ф-ция f(k) задана только для натур-х k и дифф-ть ее нельзя, поступим след образом.

Изучим для каких k эта ф-ция возрастает, а для каких начнет убывать. Сnk= , –возр.

С ростом k это соотношение умень-ся. Как только оно станет меньше 1, возрастание сменится уменьшением, поэтому max f(k) будет при .

Из соотношения выразить k: ,

np-kp=kq+q, np-q=k(p+q), np-q=k.

Kmax=np-q – нецелое, поэтому максим-е значение ф-ции f(k) принимает при значении kближайшим к kmax, т. е [k-(np-q)]<1,

[k/n-p+q/n]<1/n, q/n→0 => –чтд

Т-ма Бернули:

Если в каждом из n независимых испытаний вер-ть появления события А одна и та же (≠0,≠1), то для достаточно большого числа испытаний частота мало отличается от вероятности. Из n p(A)=p(≠0,≠1).

11)Случайная величина и ее закон распределения. Биноминальное распределение.

До сих пор мы имели дело со случайными событиями, т. е соб-ми, которые могли произойти или нет в результате испытания.

Случайная величина отлич-я от случ-го события тем, что она может быть выражена 1 числом. Почти всегда случ. событие можно свести к сл. величине. ПР: (1,2,3,4,5,6)-игр кости

Случ. выличины делятся на:

— дискретные – сл. величина, мн-во значений которых можно перечислить, оно является счетным. и

– непрерывные – сл. величина, его значение не счетно.

Опр-е: закон распределения случайной величины называется правило, котрое ставит соответствие каждому значению сл. величины из мн-ва допустимых его вероятность.