Учебные материалы по математике | Формула ньютона-лейбница | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Формула ньютона-лейбница


$displaystyle = frac{{1}}{{Delta z}}left[ {intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft(...
...zeta - } intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft( {zeta } right)dzeta }
} right]
$

$displaystyle = frac{{1}}{{Delta z}}intlimits_{z}^{z + Delta z} {fleft( {...
...ac{{1}}{{Delta z}}intlimits_{z}^{z + Delta z} {fleft( {z}
right)dzeta }
$

$displaystyle = frac{{1}}{{Delta z}}intlimits_{z}^{z + Delta z} {[fleft( {zeta }
right) - fleft( {z} right)]dzeta } + f(z).
$

Оценим интеграла справа. Поскольку интеграл по условию не зависит от вида пути интегрирования, то можно считать, что часть кривой, соединяющая точки $ z$и $ z + Delta z$, является отрезком $ gamma $прямой, тогда

$displaystyle leftvert {frac{{1}}{{Delta z}}intlimits_{z}^{z + Delta z} ...
...rm max}limits_{zeta in gamma } leftvert {f(zeta ) - f(z)} rightvert.
$

В силу непрерывности функции $ f(z)$правая часть стремится к нулю, когда $ vertDelta zvert$стремится к нулю. Таким образом,

$displaystyle {F}'left( {z} right) = mathop {rm lim}limits_{leftvert {Delta z} rightvert to
0} frac{{F(z + Delta z) - F(z)}}{{Delta z}} = f(z).
$

Лемма доказана.

Если функция $ f(z)$голоморфна в односвязной области, то она по интегральной теореме Коши-Гурса удовлетворяет всем условиям леммы. Таким образом, справедливо

Следствие. Если функция голоморфна в односвязной области, то она имеет в этой области первообразную.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть $ F_{1} (z)$— первообразная от голоморфной в односвязной области $ G$функции $ f(z)$. Из доказательства леммы следует, что функция $ F(z)$из (5.13) также является первообразной от $ f(z)$. Тогда функции $ F_{} (z)$и $ F_{1} (z)$отличаются на константу, то есть

$displaystyle intlimits_{z_{0} }^{z} {f(zeta )dzeta = F_{1} (z) + C} .
$

Значит

$displaystyle 0 = intlimits_{z_{0} }^{z_{0} } {f(zeta )dzeta = F_{1} (z_{0} ) + C} ,
$

или

$displaystyle intlimits_{z_{0} }^{z} {f(zeta )dzeta = F_{1} (z) - F_1 (z_{0}).}
$

6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

 Формула Коши. Пусть в области G задана функция f(z), голоморфная в G. Рассмотрим кусочно-гладкую простую замкнутую кривую (жорданов контур) такой, что внутренность.

Введем в рассмотрение функцию , где . Эта функция будет всюду в G голоморфной, за исключением точки a.

Построим окружность центром в точке радиуса , лежащую внутри .

Как следует из теоремы о составном контуре

,

так как функция – голоморфна между контурами Г и .

Добавим и отнимем в числителе последнего интеграла. Тогда

так как

Оценим интеграл,

учтя то, что на окружности мы имеем ,

В силу непрерывности функции f(z)

,

а значит и

стремятся к нулю при . Переходя к пределу при в

получаем:

или

  (6.1)

при .

 Это равенство и называется интегральной формулой Коши. Формула Коши обладает, по крайней мере, двумя свойствами. Во-первых, она позволяет вычислить значение голоморфной функции внутри области, зная ее значения на границе области. Во-вторых, если ее записать так

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод