Формула ньютона-лейбница

Оценим интеграла справа. Поскольку интеграл по условию не зависит от вида пути интегрирования, то можно считать, что часть кривой, соединяющая точки и , является отрезком прямой, тогда

В силу непрерывности функции правая часть стремится к нулю, когда стремится к нулю. Таким образом,

Лемма доказана.

Если функция голоморфна в односвязной области, то она по интегральной теореме Коши-Гурса удовлетворяет всем условиям леммы. Таким образом, справедливо

Следствие. Если функция голоморфна в односвязной области, то она имеет в этой области первообразную.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть — первообразная от голоморфной в односвязной области функции . Из доказательства леммы следует, что функция из (5.13) также является первообразной от . Тогда функции и отличаются на константу, то есть

Значит

или

6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

 Формула Коши. Пусть в области G задана функция f(z), голоморфная в G. Рассмотрим кусочно-гладкую простую замкнутую кривую (жорданов контур) такой, что внутренность.

Введем в рассмотрение функцию , где . Эта функция будет всюду в G голоморфной, за исключением точки a.

Построим окружность центром в точке радиуса , лежащую внутри .

Как следует из теоремы о составном контуре

,

так как функция – голоморфна между контурами Г и .

Добавим и отнимем в числителе последнего интеграла. Тогда

так как

Оценим интеграл,

учтя то, что на окружности мы имеем ,

В силу непрерывности функции f(z)

,

а значит и

стремятся к нулю при . Переходя к пределу при в

получаем:

или

  (6.1)

при .

 Это равенство и называется интегральной формулой Коши. Формула Коши обладает, по крайней мере, двумя свойствами. Во-первых, она позволяет вычислить значение голоморфной функции внутри области, зная ее значения на границе области. Во-вторых, если ее записать так