Формула коши-адамара

§16. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Ряд Тейлора

Пусть имеем ряд с комплексными членами

(16.1)

где

Определение 16.1. Ряд (16.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм При этом предел последовательности называется суммой ряда (16.1).

Необходимым условием сходимости ряда (16.1) является требование

Если сходится ряд

(16.2)

с действительными положительными членами, то, очевидно, сходится и ряд (16.1), который в этом случае называется абсолютно сходящимся. Одним из наиболее часто употребляемых способов исследования сходимости ряда с комплексными членами является рассмотрение ряда с действительными членами, являющимися модулями членов исходного ряда. Достаточными признаками сходимости ряда с действительными положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.

Согласно признаку Даламбера ряд (16.2) сходится, если, начиная с некоторого номера , отношение для всех . Другими словами

(16.3)

Согласно признаку Коши ряд (16.2) сходится, если

(16.4)

Если в выражениях (16.3) или (16.4), то ряд (16.1) расходится.

Пример 16.1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. По формуле Эйлера

Тогда из имеем .

Таким образом, вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядом с действительными членами:

и

Учитывая, что и , а ряд сходится, то каждый из этих рядов сходится абсолютно. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Рассмотрим теперь функциональные ряды, членами которых являются функции комплексной переменной. Пусть в области определена бесконечная последовательность однозначных функций комплексной переменной . Функциональным рядом будем называть выражение вида:

. (16.5)

При фиксированном значении ряд (16.5) будет обычным числовым рядом вида (16.1).

Определение 16.2. Функциональный ряд (16.5) называется сходящимся в области , если при любом соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (16.5) сходится в области , то в этой области можно определить однозначную функцию , значение которой в каждой точке области равно сумме соответствующего числового ряда (16.5) в области .

Наибольший интерес для функций комплексной переменной представляют степенные ряды, для которых , где − некоторые комплексные числа, а − фиксированная точка комплексной плоскости.

Члены ряда являются аналитическими функциями на всей комплексной плоскости, поэтому для исследования свойств данного ряда можно применять предыдущие высказывания.

Для определения области сходимости степенного ряда сущетвенной оказывается следующая теорема:

Теорема 16.1. (Теорема Абеля). Если степенной ряд

(16.6)

сходится при некотором значении , то он сходится и притом абсолютно при всех значениях , для которых . Если ряд (16.1) расходится при , , то он расходится при любом значении , для которого .

Из теории степенных рядов известно, что внутри области сходимости они сходятся равномерно, то есть их можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем область сходимости при этом не изменится.

Область сходимости ряда (16.6) есть круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам:

(16.7)

или

(16.8)

если соответствующие пределы существуют.

Формулу (16.8) часто называют формулой Коши-Адамара. Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции . Коэффициенты степенного ряда (16.6) выражаются через значения суммы ряда и ее производных в центре круга сходимости по формулам

(16.9)

Таким образом, степенной ряд внутри круга сходимости определяет аналитическую функцию. Естественно поставить вопрос: можно ли любую функцию, аналитическую в круге радиуса , представить в виде сходящегося к ней степенного ряда.

Теорема 16.2 (Теорема Тейлора). Всякая функция , аналитическая внутри круга , может быть представлена в этом круге сходящимся к ней степенным рядом.

.

На практике, если это возможно, используют известные разложения в ряд Тейлора элементарных функций. Например, такие:

; (16.10)

; (16.11)

; (16.12)

; (16.13)

. (16.14)

Разложения 16.10-16.14 имеют место при .

Для функций и имеют место следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки :

; (16.15)

. (16.16)

В частности при получим

; (16.17)

. (16.18)

Разложения 16.15-16.18 имеют место при (т. е. ).

Пример 16.2. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию .

Решение. Разложим данную функцию на простейшие дроби

,

.

Преобразуем правую часть следующим образом:

.

Используем разложение (16.18) функции получим:

.

Ряд сходится в области

Ряд сходится в области

Таким образом, полученный ряд сходится в круге

Пример 16.3. Разложить по степеням разности функцию .

Решение. Преобразуем исходную функцию:

.

Заменим в разложении (16.17) на получим:

Этот ряд сходится при условии или , т. е. радиус сходимости ряда