Формула для приращения функций

Если существует конечный предел , то он называется производной функции f(Z) в точке Z0 по множеству E, и обозначается , , , W‘.

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f(x) вещественной переменной в точке х0 , x → х0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f(Z), Z может стремиться к Z0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z0.

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = x—i·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z0 = x0+i·y0, придадим ей приращение ΔZ = Δx+i·Δy, тогда функция получит приращение . Значит

, ,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i·Δy такие, что Δx → 0, а Δy = 0, т. е. точка Z0 + ΔZ → Z0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0, а ∆y → 0, т. е. когда Z0 + ∆Z→ Z0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при ∆Z → 0, то есть функция не имеет производной в любой точке Z0 .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f(Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f(x) = x и ее производная будет равна 1 ().

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f(Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае . Отсюда видно, что если а , то . Если же , а , то . Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f(Z) = x не имеет производной ни в одной точке .

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что , следовательно, (это производная по вещественной оси).

13. Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке Z0 производную . Покажем, что имеет место представление (1), где величина , когда .

Действительно, по определению производной имеем , следовательно, величина , когда . Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на и перенесем в левую часть).

14. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f(Z) называется дифференцируемой в точке Z0, если в этой точке имеет место представление (2), где A – фиксированное комплексное число, а величина стремится к нулю, когда .

Если функция W = f(Z) дифференцируема в точке Z0, то главная линейная относительно ее часть A· приращение в точке Z0 называется дифференциалом функции f(Z) в точке и обозначается .