Учебные материалы по математике | Формула для приращения функций | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Формула для приращения функций


Если существует конечный предел , то он называется производной функции f(Z) в точке Z0 по множеству E, и обозначается , , , W.

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f(x) вещественной переменной в точке х0 , x → х0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f(Z), Z может стремиться к Z0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z0.

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = xi·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z0 = x0+i·y0, придадим ей приращение ΔZ = Δx+i·Δy, тогда функция получит приращение . Значит

, ,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i·Δy такие, что Δx → 0, а Δy = 0, т. е. точка Z0 + ΔZ Z0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0, а ∆y → 0, т. е. когда Z0 + ∆ZZ0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при Z → 0, то есть функция не имеет производной в любой точке Z0 .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f(Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f(x) = x и ее производная будет равна 1 ().

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f(Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае . Отсюда видно, что если а , то . Если же , а , то . Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f(Z) = x не имеет производной ни в одной точке .

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что , следовательно, (это производная по вещественной оси).

13. Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке Z0 производную . Покажем, что имеет место представление (1), где величина , когда .

Действительно, по определению производной имеем , следовательно, величина , когда . Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на и перенесем в левую часть).

14. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f(Z) называется дифференцируемой в точке Z0, если в этой точке имеет место представление (2), где A – фиксированное комплексное число, а величина стремится к нулю, когда .

Если функция W = f(Z) дифференцируема в точке Z0, то главная линейная относительно ее часть A· приращение в точке Z0 называется дифференциалом функции f(Z) в точке и обозначается .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод