Евклидовы пространства. ортонормированные базисы

Каждый вектор можно характеризовать набором его координат Т.6. При сложении двух векторов в одном и том же базисе, то их координаты складываются.

Док-во: — n- мерное пространство над Р.

Т.7. При умножении вектора на элемент поля Р его координаты умножаются на этот элемент.

Док-во:

Вопрос 6.

Евклидовы пр-ва. Ортонормированные базисы.

Опр1: Е – векторное пр-во над полем R.

Скалярным умножением в пространстве E наз. отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов a, b действ-ное число, называемое скалярным произв-ем этих векторов, и обозн. символом (a, b). При этом выполняются условия:

1) a, b : (a, b)=(b, a),

2) a, b,c: (a+b, c)=(a, c)+(b, c)

3) a, b, если λ R, то (λa, b)=λ (a, b)

4) a, a0: (a, a)>0

Опр2: векторное пространство Е над полем R, в котором определено скалярное умножение наз-ся Евклидовым пр-вом.

Свойства скалярного умножения векторов:

1. (λa+γb, c)= λ(a, c)+ γ(b, c) a, b,c λ, γR

2. (с, λа+γb)=λ(c, a)+γ(c, b)a, b,c λ, γR

3. a (a,)=0 , где — нулевой вектор.

Пример: 1) V2,V3 ; V2 – мн-во геом. векторов пл-ти, V3 — … пр-ва.

(a, b)=|a||b|cos(a^b)

2) Rn = {a=(a1..an), aiR}(n-мерное арифм. пр-во)

(а, b)=((a1..an), (b1..bn))= a1b1+a2b2+..+anbn

3) Мн-во V всех действит. Функций от одной переменной х, непр-х на [0,1], т. е. V={f: [0,1]→R, f — непрерывна}

Тогда мн-во V – мн-во относительно сложения ф-ии и умн-ия фун-ии на действит. число, является бесконечномерным векторным пр-вом над полем R.

(f(x),g(x)) = — эта формула определяет скалярное умножение.

4) Всякое ненулевое конечномерное пр-во можно превратить в Евклидово.

dim = n

e1,e2…en – базис V

a = λ1e1+..+λnen b = γ1e1+..+γnen

(a, b) = λ1γ1+ .. λnγn – опр. скалярное произв-ие

Ортогональный базис.

Опр.3: Е – евклид. пр-во, а, bE — ортогональны↔(а, b)=0

Опр.4: система векторов а1,а2..аn Евклидова пр-ва Е наз-ся ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы.

Опр.5: Ортогональная система векторов, являющаяся базисом евклидового пространства E, называется ортогональным базисом пространства E.

Замечание: система из одного ненулевого вектора считается ортогональной

Теорема 1.любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно независима.

Док-во: (МОП). (1) а1,а2..аn – ортогон. Система. Док-ть, что (1) – линейно-независима. Предположим, что (1) – линейно-зависима.

Тогда λ1 λ2 …λnR: (*) λ1а1+λ2а2+..+λnan=0 ((λ1,λ2,..λn) (0,..0))среди λ1 λ2 …λn есть отличные от нуля

Пусть для определенности число λ1 ≠0 тогда рав-во (*) умножаем скалярно на а1, т. е. (λ1 a1+λ2 a2+…+λn an, a1)= (0, a1)

λ1 (a1 ;a1)+λ2 (a2 ;a1 )+….+λn(an ;a1) = 0(т. к. система (1)-ортогональна); λ1(a1;a1)=0 , чего не может быть, т. к. λ1 ≠0.

a1≠θ=> (a1; a1)>0 (по опр-ю). получили противоречие ч. т.д

Теорема 2. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве Е ортогональный базис.

Доказательство:

Е – конечномерное (по усл.) пространство, dim=n. Оно обладает базисом, состоящим из n векторов.(1) e1,e2,..en – базис Е. Исходя из базиса (1) построим ортогональный базис пр-ва Е след. образом:

Пусть с1 = е1 ; с2 = λ1с1 + е2.

Подберём λ1 так, чтобы скалярное произведение (с2, с1)=0 ↔

(λ1с1+е2,с1)=0 ↔λ1(с1,с1)+(е2,c1)=0 ↔ λ1=, т. к. с1=е10, то (с1,с1) >0, поэтому делить можно.

Отметим, что построенный т. о. вектор с2≠θ. Действительно, если допустить что вектор c2=θ=>λ1с1+е2=θ => е2= -λ1е1, сл-но, в системе (1) вектор е2 линейно выражается через остальные – противоречие, .

Строим вектор c3=γ2 c2+γ1c1+е3

Найдём γ1 и γ2 так, чтобы выполнялись соотношения:

Аналогично

………………….

сn = β1c1 + β2c2 + ..en

Построили систему , которая является ортогональной. Тогда по теореме 1 эта система будет линейно-независимой и состоящей из n-векторов. Сл-но, она образует базис Е.