Учебные материалы по математике | Евклидовы пространства. ортонормированные базисы | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Евклидовы пространства. ортонормированные базисы


Каждый вектор можно характеризовать набором его координат Т.6. При сложении двух векторов в одном и том же базисе, то их координаты складываются.

Док-во: — n- мерное пространство над Р.

Т.7. При умножении вектора на элемент поля Р его координаты умножаются на этот элемент.

Док-во:

Вопрос 6.

Евклидовы пр-ва. Ортонормированные базисы.

Опр1: Е – векторное пр-во над полем R.

Скалярным умножением в пространстве E наз. отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов a, b действ-ное число, называемое скалярным произв-ем этих векторов, и обозн. символом (a, b). При этом выполняются условия:

1) a, b : (a, b)=(b, a),

2) a, b,c: (a+b, c)=(a, c)+(b, c)

3) a, b, если λ R, то (λa, b)=λ (a, b)

4) a, a0: (a, a)>0

Опр2: векторное пространство Е над полем R, в котором определено скалярное умножение наз-ся Евклидовым пр-вом.

Свойства скалярного умножения векторов:

1. (λa+γb, c)= λ(a, c)+ γ(b, c) a, b,c λ, γR

2. (с, λа+γb)=λ(c, a)+γ(c, b)a, b,c λ, γR

3. a (a,)=0 , где — нулевой вектор.

Пример: 1) V2,V3 ; V2 – мн-во геом. векторов пл-ти, V3 — … пр-ва.

(a, b)=|a||b|cos(a^b)

2) Rn = {a=(a1..an), aiR}(n-мерное арифм. пр-во)

(а, b)=((a1..an), (b1..bn))= a1b1+a2b2+..+anbn

3) Мн-во V всех действит. Функций от одной переменной х, непр-х на [0,1], т. е. V={f: [0,1]→R, f — непрерывна}

Тогда мн-во V – мн-во относительно сложения ф-ии и умн-ия фун-ии на действит. число, является бесконечномерным векторным пр-вом над полем R.

(f(x),g(x)) = — эта формула определяет скалярное умножение.

4) Всякое ненулевое конечномерное пр-во можно превратить в Евклидово.

dim = n

e1,e2…en – базис V

a = λ1e1+..+λnen b = γ1e1+..+γnen

(a, b) = λ1γ1+ .. λnγn – опр. скалярное произв-ие

Ортогональный базис.

Опр.3: Е – евклид. пр-во, а, bE — ортогональны↔(а, b)=0

Опр.4: система векторов а1,а2..аn Евклидова пр-ва Е наз-ся ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы.

Опр.5: Ортогональная система векторов, являющаяся базисом евклидового пространства E, называется ортогональным базисом пространства E.

Замечание: система из одного ненулевого вектора считается ортогональной

Теорема 1.любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно независима.

Док-во: (МОП). (1) а1,а2..аn – ортогон. Система. Док-ть, что (1) – линейно-независима. Предположим, что (1) – линейно-зависима.

Тогда λ1 λ2 …λnR: (*) λ1а1+λ2а2+..+λnan=0 ((λ1,λ2,..λn) (0,..0))среди λ1 λ2 …λn есть отличные от нуля

Пусть для определенности число λ1 ≠0 тогда рав-во (*) умножаем скалярно на а1, т. е. (λ1 a1+λ2 a2+…+λn an, a1)= (0, a1)

λ1 (a1 ;a1)+λ2 (a2 ;a1 )+….+λn(an ;a1) = 0(т. к. система (1)-ортогональна); λ1(a1;a1)=0 , чего не может быть, т. к. λ1 ≠0.

a1≠θ=> (a1; a1)>0 (по опр-ю). получили противоречие ч. т.д

Теорема 2. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве Е ортогональный базис.

Доказательство:

Е – конечномерное (по усл.) пространство, dim=n. Оно обладает базисом, состоящим из n векторов.(1) e1,e2,..en – базис Е. Исходя из базиса (1) построим ортогональный базис пр-ва Е след. образом:

Пусть с1 = е1 ; с2 = λ1с1 + е2.

Подберём λ1 так, чтобы скалярное произведение (с2, с1)=0 ↔

(λ1с1+е2,с1)=0 ↔λ1(с1,с1)+(е2,c1)=0 ↔ λ1=, т. к. с1=е10, то (с1,с1) >0, поэтому делить можно.

Отметим, что построенный т. о. вектор с2≠θ. Действительно, если допустить что вектор c2=θ=>λ1с1+е2=θ => е2= -λ1е1, сл-но, в системе (1) вектор е2 линейно выражается через остальные – противоречие, .

Строим вектор c3=γ2 c2+γ1c1+е3

Найдём γ1 и γ2 так, чтобы выполнялись соотношения:

Аналогично

………………….

сn = β1c1 + β2c2 + ..en

Построили систему , которая является ортогональной. Тогда по теореме 1 эта система будет линейно-независимой и состоящей из n-векторов. Сл-но, она образует базис Е.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод