Евклидовы пространства. ортонормированные базисы
Каждый вектор можно характеризовать набором его координат Т.6. При сложении двух векторов в одном и том же базисе, то их координаты складываются.
Док-во: — n- мерное пространство над Р.
Т.7. При умножении вектора на элемент поля Р его координаты умножаются на этот элемент.
Док-во:
Вопрос 6.
Евклидовы пр-ва. Ортонормированные базисы.
Опр1: Е – векторное пр-во над полем R.
Скалярным умножением в пространстве E наз. отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов a, b действ-ное число, называемое скалярным произв-ем этих векторов, и обозн. символом (a, b). При этом выполняются условия:
1) a, b
: (a, b)=(b, a),
2) a, b,c
: (a+b, c)=(a, c)+(b, c)
3) a, b
, если λ
R, то (λa, b)=λ (a, b)
4) a
, a
0: (a, a)>0
Опр2: векторное пространство Е над полем R, в котором определено скалярное умножение наз-ся Евклидовым пр-вом.
Свойства скалярного умножения векторов:
1. (λa+γb, c)= λ(a, c)+ γ(b, c) a, b,c
λ, γ
R
2. (с, λа+γb)=λ(c, a)+γ(c, b)a, b,c
λ, γ
R
3. a
(a,
)=0 , где
— нулевой вектор.
Пример: 1) V2,V3 ; V2 – мн-во геом. векторов пл-ти, V3 — … пр-ва.
(a, b)=|a||b|cos(a^b)
2) Rn = {a=(a1..an), aiR}(n-мерное арифм. пр-во)
(а, b)=((a1..an), (b1..bn))= a1b1+a2b2+..+anbn
3) Мн-во V всех действит. Функций от одной переменной х, непр-х на [0,1], т. е. V={f: [0,1]→R, f — непрерывна}
Тогда мн-во V – мн-во относительно сложения ф-ии и умн-ия фун-ии на действит. число, является бесконечномерным векторным пр-вом над полем R.
(f(x),g(x)) = — эта формула определяет скалярное умножение.
4) Всякое ненулевое конечномерное пр-во можно превратить в Евклидово.
dim = n
e1,e2…en – базис V
a = λ1e1+..+λnen b = γ1e1+..+γnen
(a, b) = λ1γ1+ .. λnγn – опр. скалярное произв-ие
Ортогональный базис.
Опр.3: Е – евклид. пр-во, а, bE — ортогональны↔(а, b)=0
Опр.4: система векторов а1,а2..аn Евклидова пр-ва Е наз-ся ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы.
Опр.5: Ортогональная система векторов, являющаяся базисом евклидового пространства E, называется ортогональным базисом пространства E.
Замечание: система из одного ненулевого вектора считается ортогональной
Теорема 1.любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно независима.
Док-во: (МОП). (1) а1,а2..аn – ортогон. Система. Док-ть, что (1) – линейно-независима. Предположим, что (1) – линейно-зависима.
Тогда λ1 λ2 …λn
R: (*) λ1а1+λ2а2+..+λnan=0 ((λ1,λ2,..λn)
(0,..0))
среди λ1 λ2 …λn есть отличные от нуля
Пусть для определенности число λ1 ≠0 тогда рав-во (*) умножаем скалярно на а1, т. е. (λ1 a1+λ2 a2+…+λn an, a1)= (0, a1)
λ1 (a1 ;a1)+λ2 (a2 ;a1 )+….+λn(an ;a1) = 0(т. к. система (1)-ортогональна); λ1(a1;a1)=0 , чего не может быть, т. к. λ1 ≠0.
a1≠θ=> (a1; a1)>0 (по опр-ю). получили противоречие ч. т.д
Теорема 2. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве Е ортогональный базис.
Доказательство:
Е – конечномерное (по усл.) пространство, dim=n. Оно обладает базисом, состоящим из n векторов.(1) e1,e2,..en – базис Е. Исходя из базиса (1) построим ортогональный базис пр-ва Е след. образом:
Пусть с1 = е1 ; с2 = λ1с1 + е2.
Подберём λ1 так, чтобы скалярное произведение (с2, с1)=0 ↔
(λ1с1+е2,с1)=0 ↔λ1(с1,с1)+(е2,c1)=0 ↔ λ1=, т. к. с1=е1
0, то (с1,с1) >0, поэтому делить можно.
Отметим, что построенный т. о. вектор с2≠θ. Действительно, если допустить что вектор c2=θ=>λ1с1+е2=θ => е2= -λ1е1, сл-но, в системе (1) вектор е2 линейно выражается через остальные – противоречие, .
Строим вектор c3=γ2 c2+γ1c1+е3
Найдём γ1 и γ2 так, чтобы выполнялись соотношения:
Аналогично
………………….
сn = β1c1 + β2c2 + ..en
Построили систему , которая является ортогональной. Тогда по теореме 1 эта система будет линейно-независимой и состоящей из n-векторов. Сл-но, она образует базис Е.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольные у наших партнеров