Эллипс

Прямые в пространстве могут пересекаться (тогда они лежат в одной плоскости), могут быть параллельными (тогда они также лежат в одной плоскости) или скрещиваться.

Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы M1M2 = (x1− x2, y1− y2, z1− z2 ), a1 = (l1, m1, n1) и a2 = (l2, m2, n2),

компланарны, и при этом не параллельны векторы a1 и a2.

Две прямые парал. тогда и только тогда, когда парал. векторы a1 и a2,т. е. когда сущ. число λ такое что, l1= λl2, m1= λm2, n1= λn2.

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда не компланарны векторы и при этом не параллельны векторы a1 и a2.

20. Кривые 2 порядка на пл-ти. Окружность.

Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой системе координат на плоскости уравнением второй степени:

Окружн. — геом-кое место точек плоскости, равноудалённых от задан. точки, назыв. центром, на зад. ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Окр. явл. простой плоской кривой второго порядка.

Общее уравнение окружности записывается как

21. Эллипс.

Эллипс — геометрич. место точек, для кот. сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F1 и F2, расстояние между ними — через 2с.

ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2

Точки A1,A2,B1,B2 — вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

22. Гипербола.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т. е. А*С<0

Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c, o) и F2(-c,0) — фокусы ее, e>0, e=c/a — эксцентриситет.

Св-во: а) для любой точки гип. абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 — ур-е сопряженной гиперболы.

23. Парабола.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у — текущие координаты, а — нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y2=2px-симметр. отн. оси ОХ

х2=2pу-симметр. отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 — ее директриса.

Любой точке М(х, у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.

24. Плоскость в прост-ве. Общее уравнение плоскости. Ур. плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0 , где A B C D – постоянные

Коэффициенты A, B,C явл. координатами вектора, перпендик. к плоскости, заданной уравнением. Он назыв. норм. вектором этой плоскости и опред. ориентацию плоскости в пространстве относит. системы координат.

A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 — ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

Чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принадлежащую плоскости.

25. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x — x0) + B(y — y0) + C(z — z0) = 0

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Алгоритм построения перпендикуляра:

1.Строится перпендик. из точки на плоскость

2Находится точка пересеч. перпендикуляра с плоскостью.

3Определяется расст. от точки до точки с помощью прямоугольного треугольника. Длина гипотенузы это искомое расстояние.

Угол между 2 пересекающимися плоск. равен углу между прямыми, по которым они пересек. с любой плоскостью, перпендик. их линии пересечения. Доказывается, что этот угол не зависит от выбора такой плоскости. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

26. Прямая в пространстве. Общее ур. прямой в прост. Парам. и канон. ур. прямой. Угол между 2 прямыми.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетв. уравнениям обеих плоскостей, т. е удовлетворять системе из двух уравнений.

Уравнения называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Параметрическое уравнение прямой.

По параметр. уравнениям легко установить направляющий вект. прямой и координаты одной из ее точек. Коэф-ты перед параметр. t дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части — координаты точки на прямой.

Каноническое уравнение прямой.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Если прямые заданы уравнениями:

A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0

тогда направл. векторы этих прямых равны:

a1 = (- B1 ; A1) и a2 = (- B2 ; A2)

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

В качестве угла между прямой и плоскостью мы выбирается острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

где (А;В;С;) коордтнаты нормального вектора плоскости

(l;m;n;) коордтнаты напрвляющего вектора прямой

27. Действит. числа. Числ. мн-а. Числ. послед.. Сход. числовые посл. и их свойства.

Действит. числа представляют собой расширение мн-ва рациональных чисел, замкнутое относительно нек-х операций предельного перехода. Для некот. числ. мн-в приняты стандартные обозначение:

N – мн-во натур. чисел, Z – мн-во целых чис.,

Q – мн-во рац. чисел, R – мн-во действ. чис.

Пусть каждому натур. числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действ. число an. В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция: an=f(n) , которая назыв. числовой последовательностью. Числовая послед. — послед. элементов числ. пространства.

Числ. ряд назыв. сходящимся, если сущ. конечный предел послед. частичных сумм

Свойства: 1)Всякая послед. является своей подпоследовательностью.

2)Подпослед. сходящейся послед. сходится к тому же пределу, что и исходная послед.

3)Если все подпослед. некоторой исходной послед. сходятся, то их пределы равны.

28. Монот числ. послед. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Возрастающие и убыв. последовательности назыв. строго монотонными. Неубыв. и невозраст. послед. называют монотонными.

Если каждый член послед., начиная со второго, больше предыдущего, то послед. называется монотонно возрастающей.

Если при любом n an+1 > an, то послед. {an} называется монотонно неубывающей. Например, послед. 1, 1, 2, 2, 3 , 3,… не явл. монотонно возраст., но явл. монот. неубыв. Примером монотонно возрастающей числ. послед. является натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4 …

Бесконечно малая последовательность —послед., которая стремится к нулю.

Бесконечно большая последовательность —послед., которая стремится к бесконечности определённого знака.

29. Понятие функции. Область опред. и область знач. функций. Эконом. функции. Слож. функции.

Функция—понятие, отражающее связь между эле-ми множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества.

Область опред. функции — мн-во, на кот. задаётся функция. Если задана функция, кот. действует из одного мно-ва в др., то мн-во, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Область знач. функции — мн-во значений, кот. принимает ф-ия в рез-те ее применения