Элементы высшей математики методичка

Задачи курса математики в подготовке специалистов по профессиональному обучению состоят в том, чтобы дать представление:

— о структуре современной математики;

— о современных методах высшей математики;

— об универсальности методов и языка математики;

— о способах решения прикладных задач математики.

Федеральный государственный образовательный стандарт третьего поколения среднего профессионального образования подразумевает компетентностный подход в обучении. Основной задачей преподавателя является не передача, "трансляция" знаний, а формирование у обучающихся профессиональных компетенций, методов и способов самостоятельного поиска и получения новых знаний, умения применять теоретические знания при решении практических задач. В связи с этим самостоятельная работа студентов играет решающую роль при изучении курса дисциплины «Элементы высшей математики».

Методические указания к выполнению самостоятельной работы предназначаются для студентов второго курса дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности 230401«Информационные системы (по отраслям)». Самостоятельная работа обучающегося составляет 36 часов согласно учебному плану.

Целью данного пособия является помощь студенту в организации его самостоятельной работы по дисциплине. В методических указаниях перечислены виды самостоятельной работы студента по всем изучаемым в курсе «Элементов высшей математики» темам. Даны указания к выполнению этих видов самостоятельной работы.

При изучении дисциплины «Элементы высшей математики» наибольшие трудности у студентов возникают при решении практических задач. Вместе с тем именно решение задач в значительной степени способствует развитию инженерного мышления у студентов. В настоящей методической разработке дан краткий теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, и подробно рассмотрены решения типовых заданий, а также изложены требования к выполнению и оформлению индивидуальных расчетно-графических работ, предусмотренных программой курса.

В методическом пособии даны варианты индивидуальных расчётно-графических заданий. Поскольку алгоритмы решения задач и техника решения отрабатываются именно в процессе самостоятельного решения заданий, то методические указания к выполнению самостоятельной работы студента содержат также задания "Математического тренинга" по всему изучаемому курсу дисциплины «Элементы высшей математики», которые позволяют обучающемуся выполнить самоконтроль усвоения материала.

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………………………………….. . . 3

I. Виды самостоятельной работы и их распределение по учебным

темам дисциплины " Элементы высшей математики "…………………………………..5

II. Методические указания к выполнению расчётно-графической

работы по индивидуальным заданиям………………………………………………………6

III. Методические указания к cоставлению индивидуального наглядного материала по темам……………………………………………………………………………. ………7

IV. Методические указания к подготовке опорного конспекта по темам…………9

V. Методические указания к подготовке презентаций…………………………………12

VI. Методические указания к выполнению заданий "Математического тренинга"…………………… ……………………………………………………………………………….15

VII. Список рекомендуемой литературы, Интернет-ресурсов……………………16

Приложения……………………………………………………………………………………………….17

I. Виды самостоятельной работы и их распределение по учебным темам дисциплины " Элементы высшей математики "

Тема 1. Элементы линейной алгебры

1. Расчётно-графическое задание: Анализ решений различных систем линейных уравнений.

2.Математический тренинг: задания №1-№11. 3.Презентация: История возникновения и развития "Линейной алгебры". Прикладное значение дисциплины.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии

1.Опорный конспект по теме " Аналитическая геометрия на плоскости". 2.Основные формулы векторной алгебры для пространства. Составление индивидуального наглядного материала.

3. Расчётно-графическая работа: Применение методов векторной алгебры при решении геометрических задач.

Тема 3. Основы математического анализа.

Дифференциальное и интегральное исчисление

1.Опорный конспект по теме "Дифференциальное исчисление". 2.Опорный конспект по теме "Интегральное исчисление". 3. Математический тренинг: задания №22-№54.

4. Составить и оформить индивидуальный наглядный материал по формулам и методам дифференцирования.

Тема 4. Дифференциальные уравнения

1. Составить опорный конспект по теме "Дифференциальные уравнения" по контрольным вопросам.

2. Математический тренинг: задания №55-№59.

II. Методические указания к выполнению расчётно-графической работы по индивидуальным заданиям

·  Внимательно изучите теоретический материал учебника по теме задания. Для улучшения его усвоения необходимо вести конспектирование и после изучения темы ответить на вопросы самоконтроля.

·  Ознакомьтесь с общими требованиями к оформлению пояснительной записки:
1. Пояснительная записка — документ, содержащий описание применённого метода исследования, обоснование выполненных расчётов и решений, схемы, таблицы, поясняющие расчеты и принятые решения.
2. Пояснительная записка расчетно-графической работы должна содержать: 
— Титульный лист (Приложение 1);
— Задание на расчетно-графическую работу (Приложение 2);
— Введение;
— Содержание;

— Вывод.

·  Оформите титульный лист расчетно-графической работы с указанием названия дисциплины, темы работы, номера варианта, названия специальности и учебной группы, фамилии, имени и отчества студента, фамилии, имени и отчества проверившего работу преподавателя, учебного года.

·  Проработайте приведённый в методических указаниях пример типового расчёта по теме расчетно-графической работы (Приложение 3).

·  Составьте расчетно-пояснительную записку. Расчетно-пояснительная записка должна быть достаточно краткой, без лишних подробных пояснений и теоретических выводов, имеющихся в учебниках и других учебных пособиях, но не чересчур краткой, содержащей одни только формулы и вычисления. В расчетно-пояснительной записке от начала до конца должна четко прослеживаться логическая связь выполняемых операций, а также должны быть отмечены основания для выполнения этих операций.

·  Приведенные в настоящей методической разработке примеры решения отдельных задач могут послужить основой для составления записок. Формулы, приводимые в записке, должны быть, как правило, записаны сначала в общем виде, а затем уже должна быть произведена подстановка исходных данных и выполнены необходимые вычисления. При подстановке исходных данных нужно внимательно следить за соблюдением одинаковой размерности. После получения значения искомой (промежуточной или окончательной) величины обязательно проставляется её размерность.

·  Если у автора расчетно-графической работы неразборчивый почерк, то записку он должен выполнять чертежным шрифтом. Или текст записки должен быть набран в текстовом редакторе Microsoft Word. Шрифт пояснительной записки — Times New Roman, размер шрифта 14 с полуторным межстрочным интервалом. Выравнивание — по ширине. Ориентация страницы — книжная.

·  Правила оформления формул:

1. Нумеруют только те формулы, на которые имеются ссылки по тексту. Номер формулы заключается в круглые скобки с выравниванием по правому краю.
2. Расчетные формулы записывают сначала в символьном виде, затем в них подставляют цифровые значения физических величин и, наконец, приводят окончательный ответ с обязательным указанием размерности, например, V=25 м/с.

·  В возвращенной расчетно-графической работе студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить все данные ему указания. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

Критерии оценивания расчётно-графической работы по индивидуальным заданиям

Оценка, выставляемая за расчётно-графическую работу, учитывает правильность и качество оформления пояснительной записки, полноту и обоснованность решения заданий и выполненных построений.

Контроль за выполнением требований к уровню подготовки обучающихся состоит из двух этапов: обязательном и повышенном. Оценка «3»

ставится за выполнение заданий обязательного уровня. Оценка «4» или «5» — за более высокий уровень обученности. Таким образом, если выполнено 50% работы – «3»; 75% работы – «4»; 100% — «5».

Отметка «5» ставится, если:

1) работа выполнена полностью; 2) в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; 3) в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

1) работа выполнена полностью, но обоснования решения шагов недостаточны

; 2) допущена одна ошибка или два-три недочета в решении, рисунках, чертежах или графиках.

Отметка «3» ставится, если выполнено не менее 50% работы и обучающийся владеет обязательными умениями по данной теме.

Отметка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

III. Методические указания к cоставлению индивидуального

наглядного материала по темам

Ø "Когда в настоящее время оглядываюсь назад и спрашиваю себя: что же, собственно, я сделал для обучения человечества, то нахожу следующее: я прочно установил высший основной принцип обучения, признав наглядность абсолютной основой всякого познания ". /Песталоцци/

Ø Наглядность это один из компонентов целостной системы обучения, которая может помочь студенту качественнее усвоить изучаемый материал и на более высоком уровне. Принцип наглядности это один из самых известных и интуитивно понятных принципов обучения, использующийся с древних времен. Закономерное обоснование данного принципа получено сравнительно недавно. В основе его лежат следующие строго зафиксированные научные закономерности: органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям. У большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения, которые «пропускают» в мозг почти в 5 раз больше информации, чем органы слуха, и почти в 13 раз больше, чем тактильные органы. 

Ø Используемые для наглядности объекты могут быть различны: схемы, таблицы, диаграммы, рисунки, картинки, макеты, и т. д.  Современные средства наглядности: телевидение, видеозапись, полиэкранная проекция, компьютерные презентации.

·  Лучше всего те наглядные пособия, которые изготовлены вами самими.

·  B зависимости от дидактических функций в математике часто применяются следующие виды наглядности:

1. Картинная и картинно-динамическая наглядность (картины, рисунки, фотографии, диапозитивы, кино); функция — познакомить с какими-то фактами, предметами, явлениями через их отображение.
2. Объемная наглядность (макеты, муляжи, геометрические фигуры); функция — знакомство с теми предметами, где объемное, а не плоскостное изображение играет роль в восприятии.
3. Звуковая наглядность (магнитофонные записи, радио); функция — воспроизведение звуковых образов.
4. Символическая и графическая наглядность (чертежи, схемы, карты, таблицы); функция — развитие абстрактного мышления, знакомство с условно-обобщенным, символическим отображением реального мира.
5. Смешанная наглядность — учебный звуковой кинофильм; функция — воссоздание наиболее полного живого отображения действительности.

·  Индивидуальные наглядные пособия будут служить опорой для осознания связей между фактами, явлениями, свойствами изучаемых объектов.

·  Выберите вид индивидуального наглядного материала, исходя из ваших особенностей восприятия информации.

·  Очень полезно составлять "шпаргалку" по теме, на которой выписать все изученные формулы, отразив причинно-следственные связи; свойства и теоремы. Такая "шпаргалка" по сути является опорным конспектом, позволяет перед началом учебного занятия быстро повторить изученный материал.

·  "Шпаргалка" должна содержать минимум словесной информации, но совсем без неё не может быть правильно составлена. Скажем, один блок формул вы назовёте "Теоремы сложения", другой-"Формулы двойного аргумента". "Шпаргалка" помогает вам обобщить и систематизировать изученный материал по теме.

·  Очень правильно индивидуальный наглядный материал делать цветным.

Критерии оценивания cоставления индивидуального

наглядного материала

Составление индивидуального наглядного материала по теме оценивается отметками "зачтено" или "не зачтено". При условии, что наглядный материал отражает не менее 90% теоретического материала и правильно структурирован выставляется отметка "зачтено", в остальных случаях — "не зачтено".

IV. Методические указания к подготовке

опорного конспекта по темам

Конспектирование – это свертывание текста, в процессе которого не просто отбрасывается ненужная (маловажная) информация, но сохраняется, переосмысливается, свертывается все, что позволяет через определенный промежуток времени автору конспекта развернуть до необходимых рамок текст без существенной потери информации.

Конспектирование может осуществляться тремя способами:

·  цитирование (полное или частичное) основных положений текста;

·  передача основных мыслей текста «своими словами»;

·  смешанный вариант.

Все варианты предполагают использование сокращений.

Разделяют четыре видов конспекта:

Ø  Плановый

Ø  Текстуальный

Ø  Свободный

Ø  Тематический

Плановый конспект легко получить с помощью предварительно сделанного плана. При этом план или специально составляется для написания конспекта, или используется ранее составленный в качестве самостоятельной записи.

Каждому вопросу плана в такой записи отвечает определенная часть конспекта. Однако там, где пункт плана не требует дополнений и разъяснений, он не сопровождается текстом.

Самый простой конспект – схематический плановый конспект – составляется в виде ответов на пункты плана, сформулированные в вопросительной форме. В процессе подготовки, а иногда и при последующей переделке плановый конспект может отразить логическую структуру и взаимосвязь отдельных положений.

Текстуальный конспект – это конспект, созданный в основном, из отрывков подлинника — цитат.

Хотя при создании текстуального конспекта и требуется определенное умение быстро и правильно выбирать цитаты (умение делать выписки), этот тип конспекта не является трудно составимым.

Тематический конспект дает более или менее исчерпывающий ответ на поставленный вопрос – тему. Специфика этого конспекта в том, что, разрабатывая определенную тему по ряду источников, он может не отображать содержание каждого из использованных произведений в целом.

Как составлять конспект:

1.  Определите цель составления конспекта.

2.  Записать название конспектируемого произведения (или его части) и его выходные данные, то есть сделать библиографическое описание документа.

3.  Прочитайте текст документа с целью определения характера текста (теоретический или эмпирический); выявление степени сложности по наличию новых или непонятных терминов-понятий. Предварительное знакомство с текстом поможет осознанно выбрать вид конспектирования.

4.  Научно-исследовательская работа по переработке информации. Все начинается с повторного чтения и анализа. Анализ позволяет разделить текст на части, отделить одно положение от другого и выделить нужное. Составьте план текста – основу конспекта, сформулируйте его пункты и определите, что именно следует включить и определите, что именно следует включить в конспект для раскрытия каждого из них.

5.  Выделение главных мыслей текста – тезисов. Тезисом в зависимости от задач конспектирования может быть: понятие или категория и их определение, закон и его формулировка, факты и события и доказательства их истинности и так далее. Составляя конспект, можно отдельные слова и целые предложения писать сокращенно, выписывать только ключевые слова, применять условные обозначения. Конспект по своему объему не должен превышать 1/3 исходного текста.

6.  Что бы форма конспекта как можно более наглядно отражала его содержание располагайте абзацы «ступеньками» подобно пунктам и подпунктам плана.

8. Применяйте разнообразные способы оформления:

— соблюдать правила цитирования – цитату заключать в кавычки, давать ссылку на источник с указанием страницы.

— конспектируя, оставить место (широкие поля) для дополнений, заметок, записи незнакомых терминов и имен, требующих разъяснений.

— пользоваться при записи различными цветами. Например, если вы пользуетесь синими чернилами для записи конспекта, то: красным цветом — подчеркивайте название тем, пишите наиболее важные формулы; черным – подчеркивайте заголовки подтем, параграфов, и так далее; зеленым – делайте выписки цитат, номеруйте формулы и так далее.

Карта памяти.

Конспектирование в форме карты памяти становится популярным. Автор такого способа фиксирования информации – известный и прогрессивный психолог Тони Бьюзен. Происходит процесс следующим образом: строятся так называемые карты зрительных образов, которые создают глубокое эмоциональное впечатление, что существенно увеличивает возможность запоминания материала. Этот метод требует меньших усилий, чем при традиционном конспектировании, ведь осуществление записей происходит ненапряженно и творчески. При построении карт памяти основные идеи полученных сведений становятся более лаконичными, четкими и понятными, обозначаются логические связи между ними. Карты могут изменяться по вашему усмотрению, например, расширяться путем повторения. Нужным образом организованное повторение позволяет легко и прочно укрепить изучение в памяти.

Процесс построения карт памяти

·  Используют различные графические средства (рисунки, символы, стрелочки, разные шрифты). Все они делаются разноцветными.

·  Лист располагают горизонтально, тем самым отводят больше места под рисунок (конспект)

·  В центре страницы обозначают главную идею.

·  Разноцветными ручками выводят из главной идеи линии, каждая из которых является определенной частью основной темы.

·  Каждая линия подписывается ключевым словом

·  Конспект можно детализировать, то есть добавлять линии.

·  Ключевые слова обозначают печатными буквами, а размер шрифта выбирают согласно значимости ключевого слова.

·  На карте должно быть много рисунков и символов.

·  Стрелочки будут показывать связи между идеями.

Выписки

Выписки — самая простая форма конспектирования. Они почти дословно воспроизводят текст и заносятся на карточки.

В "Приложении 4" приведены контрольные вопросы, которые помогут вам составить опорный конспект по теме.

Критерии оценивания опорного конспекта

При оценивании опорного конспекта по теме учитывается полнота и качество данных ответов на контрольные вопросы, умение обучающегося обобщить и систематизировать теоретический материал.

Оценка «5» ставится, если в конспекте правильно даны ответы на все вопросы по теме, указанные в "Приложении 4". Оценка «4»- если найдены ответы на не менее 85% вопросов, оценка «3»- при выполнении от 70% до 85% работы. В остальных случаях выставляется оценка «2».

V. Методические указания к подготовке презентаций

Прежде всего должен быть подготовлен реферат и концептуальный конспект по заданной теме.

Советы по подготовке презентации

·  Быть аккуратным. Разнобой в шрифтах и отступах, опечатки, типографические ошибки в формулах вызывают подозрение, что и к содержательным вопросам докладчик подошёл спустя рукава.

·  Титульная страница необходима, чтобы представить аудитории вас и тему вашего доклада. На защитах необходимо также указывать фамилию и инициалы научного руководителя и организацию. На конференциях — название и дату конференции. Это делается в том числе и для того, чтобы при обмене файлами с коллегами и при выкладывании в Интернете назначение презентации было понятно без дополнительных комментариев.

·  Оптимальное число строк на слайде — от 6 до 11. Перегруженность и мелкий шрифт тяжелы для восприятия. Недогруженность оставляет впечатление, что выступление поверхностно и плохо подготовлено.

·  Распространённая ошибка — читать слайд дословно. Лучше всего, если на слайде будет написана подробная информация (определения, теоремы, формулы), а словами будет рассказываться их содержательный смысл. Информация на слайде может быть более формальной и строго изложенной, чем в речи.

·  Пункты перечней должны быть короткими фразами; максимум — две строки на фразу, оптимально — одна строка. Чтение длинной фразы отвлекает внимание от речи. Короткая фраза легче запоминается визуально.

·  Не проговаривайте формулы словами. На защите или на конференции это неуместно.

·  Оптимальная скорость переключения — один слайд за 1–2 минуты, на лекциях — до 5 минут. Для кратких выступлений допустимо два слайда в минуту, но не быстрее. Слушатели должны успеть воспринять информацию и со слайда, и на слух.

·  На слайдах с ключевыми определениями можно задержаться подольше. Если они не будут поняты, то не будет понято ничего.

·  Слайды с графиками результатов, наоборот, легко проскакивать в ускоренном темпе. Объяснение графика в типичном случае: «По горизонтальной оси отложено …, по вертикальной оси — …, видно, что…».

·  При объяснении таблиц необходимо говорить, чему соотвествуют строки, а чему — столбцы.

·  Вводите только те обозначения и понятия, без которых понимание основных идей доклада невозможно. Любое обозначение должно быть объяснено до его первого использования (как и в статьях). Непонятные фразы следует изымать из презентации.

·  Любая фраза должна говориться зачем-то. Каждая фраза должна логично подводить к следующим фразам, быть для них посылкой, и в конечном итоге всё выступление должно быть подчинено главной цели — донести до аудитории две–три по-настоящему ценных мысли. Тогда выступление будет цельным и оставит хорошее впечатление.

·  Последний слайд с выводами в коротких презентациях проговаривать не надо. Другое дело — лекция или выступление на семинаре, когда сказано было так много, что слушатель может растеряться: а что же самое главное… В таком случае необходимо резюме, «сухой остаток».

·  Название доклада на первом слайде должно отражать самую главную идею, то есть соответствовать вершине иерархии.

·  В начале выступления желательно привести содержание доклада. Оптимально — три пункта, в каждом — три подпункта.

·  Наиболее сложные участки выступления лучше разбивать на шаги или этапы, предваряя их очень простым слайдом со списком шагов. Например: «Предлагаемый метод заключается в выполнении трёх шагов:…» или «Есть три причины, по которым стандартный подход не оптимален. Рассмотрим каждую из них в отдельности». Если этих вспомогательных фраз не говорить, содержание доклада не изменится; однако восприниматься он будет гораздо тяжелее.

·  Важные идеи верхних уровней обязательно должны быть отражены на слайдах и сказаны словами. Если идея «проскакивает» только на слайде — это верный признак её второстепенности.

·  В течение выступления можно несколько раз сказать «основная идея в том, чтобы…». Но злоупотреблять этой фразой не стоит.

·  Наиболее важные слова, идеи, фрагменты можно выделять цветом на слайде, чтобы они сразу бросались в глаза. Этим тоже нельзя злоупотреблять.

Ещё несколько тонкостей

·  Речь и слайды не должны совпадать, тогда презентация станет «объёмной». Речь должна быть более популярна и образна. Слайды должны содержать больше технических подробностей: формулы, схемы, таблицы, графики. В коротком выступлении в них можно тыкать по ходу изложения, но при этом не надо останавливаться на объяснении всех мелочей.

·  Первые же фразы должны интриговать. Например, можно сказать о том, насколько сложной или насколько важной является данная задача, или о том, насколько неожиданным будет решение — это позволит удержать внимание слушателей до конца.

Этапы подготовки презентации

1. Составление плана презентации, выделение основных идей первого и второго уровня. Структура презентации:

— постановка задачи;

— известные ранее результаты и проблемы;

— критерии, по которому предполагается оценивать качество решения;

— цели данной работы;

— основные результаты автора;

— условия и результаты экспериментов;

— на последнем слайде — перечисление основных результатов работы.

2. Продумывание каждого слайда, при этом важно ответить на вопросы:

— как идея этого слайда раскрывает основную идею всей презентации?

— что будет на слайде?

— что будет говориться?

— как будет сделан переход к следующему слайду?

3. Изготовление презентации с помощью одной из перечисленных ниже систем.

MS Power Point

Наиболее частый выбор. Если на слайде много формул, рекомендуется набирать его полностью в MS Word (иначе формулы приходится размещать и выравнивать на слайде вручную). Для этого удобно сделать заготовку — пустой слайд с одним большим Word-объектом «Вставка / Объект / Документ Microsoft Word», подобрать один раз его размеры и размножить на нужное число слайдов. Основной шрифт в тексте и формулах рекомендуется изменить на Arial или ему подобный; шрифт Times плохо смотрится издалека. Обязательно установите в MathType основной размер шрифта равным основному размеру шрифта в тексте. Никогда не выравнивайте размер формулы вручную, вытягивая ее за уголок.

MS Word

MS Word тоже пойдет. Установите ориентацию страниц landscape, сделайте поля поменьше, установите размер основного шрифта около 25. Очень хорошо, когда на каждом слайде внизу написан номер текущего слайда и сколько слайдов всего. Word позволяет сделать это с помощью колонтитулов. Рекомендуется сначала создать образец чистой страницы с установленным размером шрифта, полями, колонтитулами и заголовком, и потом копировать его для каждого нового слайда. Готовую презентацию лучше показывать не в самом Word’е, а записать документ в PDF-файл и во время презентации использовать полноэкранный режим Acrobat Reader.

Критерии оценки презентации

VI. Методические указания к выполнению заданий

"Математического тренинга"

К выполнению заданий "Математического тренинга" (Приложение 5) можно приступать после того, как

·  изучен теоретический материал по теме;

·  даны ответы на контрольные вопросы по теме (Приложение 4);

·  составлен индивидуальный наглядный материал по теме;

·  разобраны примеры типового расчёта (Приложение 3);

·  составлены алгоритмы решения задач.

При выполнении заданий тренинга придерживайтесь всех тех методических рекомендаций, которые были даны для выполнения расчётно-графических заданий.

Цель решения заданий "Математического тренинга"- самоконтроль уровня освоения темы и готовности к контролю знаний в виде промежуточной аттестации.

Критерии оценивания выполнения заданий

"Математического тренинга"

Оценка, выставляемая за выполнение заданий "Математического тренинга", зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий "Математического тренинга": решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены.

Методы решения, формы его записи и формы ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется оценка «5». Правильный ответ при отсутствии решения, либо неправильном решении оценивается оценкой «2». Оценка «4» ставится, если: 1) работа выполнена полностью, но обоснования решения шагов недостаточны; 2) допущено не более 10% ошибок или недочетов в решениях, рисунках, чертежах или графиках. Оценка «3» ставится, если выполнено не менее 50% работы и обучающийся владеет обязательными умениями по данной теме.

VII. Список рекомендуемой литературы, Интернет-ресурсов

Основные источники:

1. Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник. — М.: Издательский центр "Академия", 2011. -304 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".

2. Дадаян А. А. Математика: Учебник.- М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2005.-552 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".

3. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика.- М.: Дрофа, 2006.

Дополнительные источники:

1. Алгебра и начала анализа. /Под ред. Г. Н. Яковлева. Ч.1 — М.: Наука, 1987.-336 с.- Серия: учебники для средних специальных учебных заведений.

2. Алгебра и начала анализа. /Под ред. Г. Н. Яковлева. Ч.2 — М.: Наука, 1988.-360 с.- Серия: учебники для средних специальных учебных заведений.

3. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. — М.: Наука, 1990.

4. Геометрия. /Под ред. Г. Н. Яковлева. Ч.1 — М.: Наука, 1987. -319 с.- Серия: учебники для средних специальных учебных заведений.

5. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. — М.: Высшая школа, 1991.- 480 с.- Серия: учебное пособие для средних специальных учебных заведений.

Интернет-ресурсы:

1.  http://school-collection. edu. ru /- Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов;

2.  www. lektorium. tv — "Лекции ведущих лекторов России в свободном доступе";

3.  www. youtube. com/user/msu — Лекции преподавателей МГУ им. М. Ломоносова;

4.  www. youtube. com/education-объединяет учащихся и преподавателей всего мира в одной всемирной аудитории.

Приложение 1

ГБОУ СПО "НХК"

Расчётно-графическая работа

по дисциплине «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

специальности

230401 Информационные системы (по отраслям)

ТЕМА: Анализ решений различных систем линейных уравнений

ВАРИАНТ №

Выполнил студент группы И-21-11

Иванов Александр Сергеевич;

проверила преподаватель

Кихтенко Нелли Анатольевна

Невинномысск

2012-2013 учебный год

Приложение 3

Методические указания и пример типового расчёта

расчётно-графического задания по теме

«Анализ решений различных систем линейных уравнений»

Теория

Для систем линейных уравнений A:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:

.

Определитель системы .

Теорема Крамера: Пусть — определитель системы А, а определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, (j=1, 2, …, n).

Если =0: 1) и при этом хотя бы один 0, то решений нет (т. е. система несовместная);

2) и при этом все =0, то решений бесконечно много (т. е. система неопределённая).

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу коэффициентов: .
Вычислим определители матрицы:

3

Теперь по формулам Крамера: ; ; .

Ответ: (4;2;1)

Задание 2. Решение системы линейных уравнений

средствами матричного исчисления

Теория

Дана СЛАУ

Запишем эту систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

Обозначим:

А= — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;

Х= — матрица — столбец переменных;

В= — матрица — столбец свободных членов. Матричное уравнение:

для решения этого матричного уравнения, если квадратная матрица А является невыраженной, умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу :

так как , то решением системы методом обратной матрицы будет матрица — столбец:

Задание 2. Решить систему уравнений методом обратной матрицы

Решение:

А= , Х= , В= .

Тогда в матричной форме данная система уравнений имеет вид:

, её решение Х=.

Главный определитель матрицы ,

значит обратная матрица существует.

Найдём обратную матрицу :

Транспонируем матрицу А: .

Найдём алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы :

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим из них присоединённую матрицу :

.

Вычислим обратную матрицу по формуле :

.

Тогда, Х= = * = = = = .

Значит, , , .

Ответ: (4;2;1)

Вычисление определителей с помощью теоремы Лапласа

При вычислении определителей высоких порядков целесообразно так преобразовать исходную матрицу, чтобы преобразованная матрица имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

При этих преобразованиях используют свойства определителей. В частности, определитель матрицы не изменится, если к элементам какой — либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножение на одно и то же число.

Пример: Вычислить определитель четвёртого порядка

Решение:

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в нуль. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4), затем на (2) и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Затем полученный определитель разложим по элементам третьей строки:

==0+0+1 +0.

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить, например, по «правилу треугольников», или продолжить его упрощение. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элемента 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на (4), сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:

= .

Раскладываем по элементам 2-ой строки и, вынося общие множители столбцов за определитель, получаем:

=

8