Элементы тфкп и операционного исчисления

Задача № 1. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме и показать его положение на комплексной плоскости с указанием модуля и аргумента.

Порядок выполнения:

1). Записать КЧ в тригонометрической форме, используя для вычислений формулы для модуля КЧ и аргумента КЧ через составляющие алгебраической (исходной) формы: действительная и — мнимая части КП

(1.1)

2). Записать КЧ в показательной форме, используя для вычислений формулы для модуля КЧ и аргумента КЧ, выраженные через составляющие алгебраической (исходной) формы: действительная и — мнимая части КП

(1.2)

3). Построив координатные оси декартовой системы и указав масштабы по осям, откладываются соответственно значения: по оси — действительная часть КЧ, по оси — мнимую часть КЧ. Соединив точку с координатами с началом координат , получим направленный от точки к точке отрезок — вектора КЧ, длина которого есть модуль КЧ, а угол , составленный вектором положительным направлением оси , – аргумент КЧ.

Пример:

Задача № 2. Выполнить указанные действия с двумя комплексными числами и : сумма , разность , произведение , частное , возведение в степень и извлечение корня , где — целые числа.

Порядок выполнения:

1). Вычисления суммы двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где складываются соответственно действительные (real) и мнимые (impedans) части обоих КЧ, образуя действительную и мнимую части суммы, представленную в алгебраической форме

(2.1)

и в тригонометрической и показательной формах

2). Вычисления разности двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где определяются разности соответственно действительных (real) и мнимых (impedans) частей обоих КЧ, образуя действительную и мнимую части разности, представленную в алгебраической форме

(2.2)

и в тригонометрической и показательной формах

3). Вычисления произведения двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где действительная и мнимая части произведения представлены в алгебраической форме

(2.3)

и показательной

(2.4)

4). Вычисления частного двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, в частности, делителя и ему сопряженного КЧ , и формулу произведения КЧ и ему сопряженного КЧ ; частное определяется по формуле, где действительная и мнимая части произведения представлены в алгебраической форме

(2.5)

и в показательной

(2.6)

5). Вычисления степени КЧ производится, используя показательную форму КЧ и формулу Муавра – Котеса возведения КЧ в степень

(2.7)

6). Вычисления корня из КЧ производится, используя показательную форму КЧ и формулу Муавра – Котеса возведения КЧ в произвольную степень

(2.8)

Замечание 1: при вычислении корней первые корней соответствуют значениям аргумента КЧ

(2.9)

Пример:

:

Задача № 3. Вычислить значение функции комплексной переменной (ФКП) в точке при и показать числа и на комплексных плоскостях и .

Порядок выполнения:

1). Записать искомую функцию и ее составляющие в показательной форме

(3.1)

и произвести соответствующие действия (умножение, возведение в степень, сложение и приведение подобных), используя () комплексно – сопряженное КЧ

2). Произвести вычисления искомой функции при заданном значении аргумента

(3.2)

3). Показать на плоскости точку и на плоскости точку

Замечание 1: Функции КП — простые элементарные степенные, сумммы (разности) их и произведения (степени) или сложные, в частности:

Эти элементарные функции (экспоненциальные, тригонометрические круговые и гиперболические) представимы в показательной форме.

Пример:

Задача № 4. Построить отображение области D на плоскости на плоскость с помощью функции комплексной переменной .

Порядок выполнения:

1). Обозначить точки сопряжения участков контура, ограничивающего область D, обходя его по часовой стрелке (область всегда остается слева при обходе контура) и записать аналитические выражения кривых участков контура;

(4.1)

2). Записать выражения функции КП на соответствующих участках отображения контура области на плоскости

(4.2)

3). Построить на плоскости изображение области D на плоскости по значениям выражений соответствующих участков контура :

(4.3)

Замечание 1: функции КП – простые (дробно – линейная, экспонента, степенная), в частности

Замечание 2: функции КП дают конформное отображение (углы между двумя кривыми на плоскости равны углам между их образами на плоскости ).

Замечание 3: дробно – линейная функция КП обладает круговым свойством – переводит окружности плоскости в окружности плоскости .

Замечание 4: участки контура простые: координатные линии , проходящие через точки ; прямые , проходящие через точки ; окружности радиуса с центром .

Замечание 5: свойство конформности (равенство соответствующих углов между двумя пересекающимися кривыми оригинала и изображения) проявляется в точке пересечения изображений (четвертей окружностей), соответствующей прямому углу в точке .

Пример:

Область D ограничена координатными линиями и и дугой окружности .

Для дробно – линейной функции КП и области D, ограниченной координатными линиями и и дугой окружности

здесь проведены преобразования подобные ниже преведенным

Для дробно – линейной функции КП и области D, ограниченной координатными линиями и и дугой окружности

Задача № 5. Вычислить предел частного от деления двух ФКП , при том, что предельные значения этих функций нулевые

Порядок выполнения:

1). Определить тип неопределенности частного, вычислив значения делимого и делителя в предельной точке .

2). Определить предельный порядок производных числителя и знаменателя , отношение которых соответствует данному типу неопределенности.

3). Определить отношение производных -го порядка, следующего за предельным -ым порядком

(5.1)

Замечание 1: предел частного от деления двух ФКП при условии, что в предельной точке и числитель и знаменатель обращаются в нуль (или бесконечность), т. е. представляет собой неопределенность типа , по правилу Лопиталя равен пределу отношения соответствующих производных (числителя и знаменателя)

(5.2)

При повторении характера неопределенности значения отношения производных, операция применения правила Лопиталя повторяется до тех пор когда достигнется определенность соответствующего отношения

(5.3)

Пример:

Задача № 6. Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип, если ФКП представляется частным двух функций — дробно – рациональная ФКП или представима рядом Лорана в окрестности точки .

Порядок выполнения:

1). Определить нули числителя и знаменателя ФКП

(6.1)

2). Определить нули заданной ФКП ; для этого из множества нулей числителя вычитаются совместные с множеством нулей знаменателя элементы, в результате остается подмножество нулей ФКП

(6.2)

3). Определить особые точки заданной ФКП ; для этого из множества нулей знаменателя вычитаются совместные с множеством нулей числителя элементы, в результате остается подмножество особых точек ФКП – множество полюсов ФКП

(6.3)

4). Определить порядок (или кратность) полюсов определяется кратностью элементов . При представлении ФКП в окрестности точек рядом Лорана коэффициенты при соответствующих степенях не нулевые.

Замечание 1: число нулей ФКП и число ее полюсов в области , ограниченной замкнутым контуром , определяется соотношением

Замечание 2: нули ФКП – множество значений КП , при которых функция обращается в ноль; при этом и действительная и мнимая части обращаются в ноль одновременно

Пример:

Корни простые: — нуль ФКП; и — полюса простые (первого порядка).

Задача № 7. Проверить функцию комплексной переменной на аналитичность и найти ее производную.

Порядок выполнения:

1). Представить заданную ФКП в алгебраической форме, используя представления в показательной и тригонометрической формах

2). Вычислить частные производные действительной и мнимой частей и сравнить по соотношениям Коши – Римана.

Замечание 1: ФКП называется аналитической во всех точках области , если она дифференцируема в этой области, а ее производная непрерывна в этой области.

Замечание 2: необходимым и достаточным условием аналитичности ФКП в области является существование в этой области частных производных функций и связанных соотношениями Коши – Римана

(7.1)

Замечание 3: при вычислениях использовать представления элементарных функций в показательной форме

а также формулу Муавра для экспоненты в тригонометрической форме

Пример:

После преобразований представляется заданная ФКП так

после чего частные производные есть

из которых следует, что заданная ФКП аналитическая.

Задача № 8. Вычислить определенный интеграл функции комплексной переменной

Порядок выполнения:

1). Определить первообразную подынтегральной функции, используя табличные производные и интегралы элементарных функций

(8.1)

2). Подставить пределы интегрирования и произвести вычисления

(8.2)

Замечание 1: использовать таблицу производных и интегралов элементарных функций

Замечание 2: при вычислениях использовать значения тригонометрических функций мнимого аргумента

Пример:

Задача № 9. Вычислить контурный интеграл функции комплексного переменного по замкнутому контуру , применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

Порядок выполнения:

1). Для аналитической ФКП в заданной области , ограниченной контуром , и представимой степенным рядом Лорана , выписать коэффициент с номером , который и называется вычетом ФКП в точке

Выч (9.1)

2). Определить особые точки ФКП , их тип (изолированная особая точка, устранимая особая точка, простой полюс или полюс высокого порядка) и порядок по показателям отрицательных степеней разложения Лорана

3). Вычислить вычет ФКП в полюсе -го порядка, используя формулу

Выч (9.2)

4). Вычислить контурный интеграл по замкнутому контуру , ориентированному против часовой стрелке и содержащему внутри точку по формуле Коши

(9.3)

Пример:

Выч

Как видно из вычислений вычета заданной ФКП с полюсом второго порядка и представления заданной ФКП в форме обобщенного полинома значения коэффициента при первой отрицательной степени разложения в обоих представлениях совпадают.

Задача № 10. Найти изображение по Лапласу функции действительной переменной .

Порядок выполнения:

1). Преобразовать подынтегральную ФДП так, чтобы она была представима комбинацией элементарных ФДП, для которых даны табличные значения изображений по Лапласу

(10.1)

Пример:

Замечание 1: использовать таблицу изображений по Лапласу

Задача № 11. Найти оригинал по его изображению по Лапласу .

Порядок выполнения:

1). Представляется обратное преобразование Меллина по формуле

(11.1)

2). Преобразовать подынтегральную ФКП к дробно – рациональному виду, определив соответствующие нули

(11.2)

3). Используя теорему о вычетах, представляем оригинал искомой ФДП

Выч (11.3)

Пример:

Задача № 12. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения (второго порядка) с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью – интегрируемой ФДП

Порядок выполнения:

1). Записать отображающее уравнение, используя преобразование Лапласа для производных различного порядка при записи левой части ОДУ и табличных преобразований для записи правой части ОДУ — элементарных функций

(12.1)

2). Разрешается отображающее уравнение относительно изображения искомой функции ФКП — и представляется это выражение в виде дробно – рациональной функции КП

(12.2)

3). Ищется оригинал искомой функции по формулам обращения Меллина посредством вычисления вычетов или используя табличные обращения Лапласа

Выч (12.3)

Замечание 1: изображения по Лапласу для производных от ФДП используются формулы

Пример:

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по разделу

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Курса СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

( IV семестр, II курс, поток АЭ 8-13,2007г)

Л екция 1. Основные понятия.Комплексные числа и действия с ними. Функции

комплексной переменной и их производные. Интегрирование ФКП. Степенной ряд Лорана. Вычеты.

1.Понятие комплексного числа (КЧ) действия над ними. Комплексное число – это упорядоченная пара чисел с установленным порядком (Гамильтон –W. Hamilton,1837, Гаусс-C.Gaus,1799,Д’Аламбер — J.D’Alambert,1747)

или (1)

— пара действительных чисел; — пара действительных чисел

или (2)

i — мнимая единица (Кардано – G.Cardano,1545, Бомбели-R.Bombelli, 1572);

(3)

— реальная (действительная «real») часть КЧ;

мнимая («impedans») часть КЧ.

1.1.  Свойства КЧ:

Равество двух КЧ: два числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части .

Сопряженные КЧ: два числа комплексно сопряжены, если их мнимые части противоположного знака

1.2.  Действия над КЧ:

-суммой двух КЧ называется третье КЧ

; (4)

-свойство суммы КЧ (переместительный закон) ;

-произведение двух КЧ называется третье КЧ

(5)

(6)

-частное двух КЧ называется третье КЧ

(7)

1.3.Геометрическая интерпретация КЧ — вектор в декартовой системе координат на комплексной плоскости : — действительная ось; — мнимая ось (Вессель –C.Wessel,1799 ).

1.3.1. Тригонометрическая форма (Эйлера-L.Euler,1777,1794) КЧ

(8)

— модуль или абсолютная величина КЧ (радиус-вектор из начала системы координат (0,0) в конец вектора — точку с координатами ());

— аргумент КЧ (неоднозначный, т. к. зависит от натурального числа );

— главное значение аргумента.

1.3.2. Показательная форма КЧ, тригонометрическая и ортогональная

(9)

1.4. Векторная сумма и разность двух КЧ и неравенства треугольника

(10)

1.5. Произведение и частное двух КЧ показательной форме

(11)

(12)

1.6. Возведение в степень и извлечение корня из КЧ формулы Муавра (A.de Moivre,1707,1724) и Котеса (R.Cotes,1722)

(13)

(14)

2.  Последовательности КЧ и пределы:

Последовательности КЧ — пронумерованное множество КЧ

предел последовательности КЧ — комплексное число такое, что

при (15)

-“эпсилон” окрестность.

Теорема 1 (о необходимом и достаточном условии сходимости ) последовательности КЧ: последовательность КЧ

сходится , если сходятся последовательности действительных и мнимых частей.

Последовательность ограничена, если существует такое число M, что

Критерий Коши (сходимости): последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого справедливо неравенство

при и (16)

Бесконечно удаленная точка ,

,

3.Функции комплексной переменной (ФКП): множество (— область), () — внутренняя точка области – окрестность внутри области; () -внешняя точка области — окрестность вне области: () — замкнутая область; () — граница области.

3.1. Однозначная функция комплексной переменной (КП) заданная в , определяется законом , ставящим в соответствие каждому значению из определенное КЧ из

; (17)

3.2. Многозначная функция комплексной переменной (КП) заданная в , определяется законом , ставящим в соответствие каждому значению из несколько значений КЧ из

;

3.3. Обратное соответствие: каждому значению из соотвтветствует (однозначное или многозначное) значение из

; ; ; (18)

3.4. Однолистные функции , если принимают различные значения, многолистные функции принимают одинаковые значения.

3.5. Непрерывные функции КП : для каждой сходящейся последовательности

(19)

пределы не зависят от пути подхода к точке на плоскости и на плоскости .

4. Дифференцирование ФКП. Пусть и задана , тогда независимо от пути стремления к , если существует предел

; (20)

то существует производная функции .

4.1. Свойства действительной и мнимой частей ФКП – независимость от пути стремления

(21)

условия Д’Аламбера—Эйлера (Коши-Римана) (Коши-A. L. Cauchy-1824, Риман — G. F.B. Riemann-1854)

(22)

5.  Аналитические функции КП и их свойства:

Аналитической функцией называется такая функция, которая во всех точках некоторой области дифференцируема, а ее производная непрерывна в этой области.

5.1. Сумма, произведение и частное двух () аналитических функций –функция аналитическая

; ; (23)

5.2.  Сложная аналитическая функция от аналитической –аналитическая

5.3.  Производная аналитической функции () и обратной () – аналитическая

(24)

5.4.  Дифференциал мнимой части аналитической функции по заданной ее действительной части

(25)

5.5.  Ортогональность линий уровня действительной и мнимой частей

(26)

, , (27)

5.6.  Геометрический смысл производной

(28)

— аргумент равен разности углов вектора касательной к кривой в точке с осью и вектора кастельной к кривой в точке с осью ;

-коэффициент растяжения.

5.7.  Конформность отображения аналитической функцией

отображение обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжения

(29)

;

здесь () – углы касательных к кривым () с осью () и на плоскости (), а () – соответствующие углы касательных к кривым () с осью () на плоскости ().

ПРИМЕРЫ.

Задание № 2. Представить КЧ и в тригонометрической и показательной формах. Вычислить и записать в алгебраической форме.

Решение:

Задание № 3. Найти все корни алгебраического уравнения

Решение:

6.Интегрирование ФКП. На плоскости () задана функция и кусочно – гладкая непрерывная кривая C, заданная координатами , как функция действительного параметра . Выражение

(30)

определяет криволинейный интеграл второго рода от ФКП по контуру.

6.1. Свойства интеграла:

— изменение знака при изменении направления обхода

(31)

— сумма интегралов по двум контурам равна интегралу по суммарному контуру

(32)

— постояная выносится за знак интеграла

(33)

— сумма двух интегралов от двух функций по одному контуру равна интегралу от суммы

(34)

— модуль интеграла меньше интеграла от модуля функции

(35)

— интеграл по контуру равен интегралу по параметру

(36)

6.2. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции. Интеграл Коши.

Теорема Коши: интеграл от аналитической функции по любому односвязному замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю

(38)

Неопределенный интеграл от аналитической в области функции по любому пути соединяющему точки определяет функцию

: (39)

первообразную.

Интеграл Коши

; ; окружность радиуса

по любому односвязному контуру ограничивающей область , содержащую точки , от аналитической функции равен значению этой функции в точке .Положительное направление обхода контура такое, когда внутренняя область остается слева от направления движения (против часовой стрелки).

Следствие из формулы Коши:

—  интеграл по замкнутому контуру , целиком лежащему в области аналитической функции для любого положения точки , не лежащей на

(40)

6.Интегралы, зависящие от параметра. Значения аналитической ограниченной и непрерывной функции в некоторой замкнутой области , ограниченной контуром , во внутренней точке этой области выражается интегралом Коши

(41)

6.1. Производные любого порядка от аналитической функции выражаются интегралом типа Коши

(42)

7.  Степенной ряд (Тейлора).

(43)

7.1. Ряд Лорана (П. Лоран – P.A.Laurent 1842). Аналитическая в функция разлагается в степенной ряд Лорана

(44)

7.2. Правильная и главная части ряда Лорана

— правильная часть ряда Лорана;

—главная часть ряда Лорана

(45)

7.3. Особые изолированные точки.

Точки, в которых значения функции совпадает с значением правильной части ряда Лорана, называются правильными

(46)

Точки, в которых функция не определена и ряд Лорана содержит и главную часть, называются особыми. Точки, в которых ряд Лорана содержит конечное число слагаемых главной части, называются полюсами порядка (кратности ) .

Точки, в которых ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых главной части, называются существенно особыми.

8.  Вычеты. Вычетом функции в точке называется интеграл

Выч (47)

8.1. Вычет в устранимой особой точке

Выч (48)

8.2. Вычет в особой точке

Выч (49)

8.3. Вычет в особой точке-полюсе любого порядка

Выч (50)

8.4. Вычет в особой точке-нуле знаменателя частного

Выч (51)

8.5. Теорема о вычетах (о вычете функции, имеющей конечное число особых точек): вычет функции, имеющей конечное число особых точек, равен сумме всех вычетов с обратным знаком

Выч —Выч (52)

ПРИМЕР.

Задание № 4. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью вычетов:

Используя формулу для вычисления вычета от частного, когда знаменатель обращается на контуре в нуль, согласно чему вычет равен отношению числителя к производной знаменателя на контуре, т. е.

Выч Выч Выч

Лекция 2. Операционное исчисление.

2.Основные понятия и определения. Несобственный интеграл от кусочно-непрерывной, имеющей конечное число точек разрыва первого рода, функции-оригинала (начальной функции) действительного переменного с подынтегральным экспоненциальным ядром, содержащим комплексный параметр

(1)

единственным образом преобразует по заданному закону в функцию комплексного параметра .

2.1.Изображение (трансформанта) Лапласа (Лаплас — P.S.Laplace-1807).Обратное преобразование по Лапласу — преобразование Меллина (Меллин – Mellin R.Hj.-1910).

Трансформанта по Лапласу ставит во взаимнооднозначное соответствие оригиналу ее изображение или преобразование

; (2)

а преобразование Меллина ставит во взаимнооднозначное соответствие изображению его оригинал

(3)

2.2. Свойства трансформанты Лапласа:

— подобия ; (4)

-линейности (5)

-смещения (6)

-дифференцирования изображения (7)

-дифференцирования оригинала (8)

-интегрирования оригинала (9)

-интегрирование изображения (10)

2.3. Таблица основных оригиналов и трансформант по Лапласу

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.4.Приложение операционного исчисления к решению задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с «естественными» начальными условиями

(19)

Преобразуя по Лапласу левую и правую части уравнения, используя при этом правила определения изображений производных и с учетом «естественных (нулевых)» начальных значений, получаем алгебраическое вспомогательное (или изображающее операторное) уравнение вида

(20)

откуда для изображения искомой функции имеем выражение

(21)

по которому определяется обратным преобразованием по Лапласу (формула Мелина) искомый оригинал

(22)

ПРИМЕРЫ.

Задание № 5. Найти изображение по Лапласу функции действительного переменного. Использовать формулы тансформант по Лапласу.

Используем при этом представление квадрата косинуса через косинус двойного угла и формулы трансформант по Лапласу для экспоненты (смещение) и для косинуса.

Задание № 6. Найти оригинал функции действительного переменного по ее изображению Лапласа . Представляя подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей и используя таблицу трансформант (изображений) по Лапласу и оригиналов имеем

Задание № 7. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Используя формулы для трансформант по Лапласу для производных третьего и первого порядков (левой части уравнения) и для косинуса (правой части уравнения)

с учетом начальных условий получаем алгебраическое уравнение трансформанты искомой функции

а используя таблицы изображений имеем

Задание № 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами