Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

вВедение

Современному экономисту необходима серьезная математическая подготовка – это положение общепризнанно. К числу наиболее важных для экономистов областей математики относятся, по-видимому, линейная алгебра и, в особенности, матричная алгебра. Дело в том, что экономико-математические модели, которые широко применяются сейчас в исследовательской и плановой работе, часто предназначены для описания взаимосвязи экономических структур, их динамики во времени, зависимости от ряда факторов и т. д. Один из наиболее компактных способов описания таких структур, зачастую крупных и сложных, заключается, как известно, в матричном отображении. Применение матриц не только позволяет “экономно” формализовать поставленную проблему, но и, что существенно важнее, использовать в экономических расчетах многие достижения матричной алгебры.

Экономисты, проводящие расчеты по оптимизационным моделям, все чаще испытывают необходимость в овладении техникой матричной алгебры. Так, формулировка транспортной задачи или задачи оптимального распределения производственных ресурсов обычно сопровождается построением матриц исходных данных, а алгоритм решения подобных задач предполагает операции над ними.

Методы матричной алгебры в настоящее время широко применяются не только в нормативных экономико-математических моделях, но и в статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. В этой связи можно сослаться, скажем, на методы анализа отчетного межотраслевого баланса: прибегая к операциям с матрицами, экономисты и статистики получают возможность не только представить все балансовые расчеты в весьма компактной и наглядной форме, но и использовать более удобные вычислительные процедуры при расчете тех или иных народнохозяйственных показателей (например, при определении коэффициентов полных затрат). Матричное исчисление применяется и во многих разделах математической статистики; оно широко используются, например, при анализе так называемых взаимозависимых уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализе.

Присоединение Украины к Болонскому процессу предполагает использование тех методологических и методических подходов в образовательной деятельности, которые проверены временем и составляют суть Европейской системы образования. Проводимый эксперимент по внедрению кредитно-модульной системы обучения направлен на поиск соответствующих форм и путей организации работы, которая бы рационально и сбалансировано объединяла аудиторную работу студента и его самостоятельную работу.

Данное методическое пособие нацелено на стимулирование и самоорганизацию систематической учебной деятельности студента по соответствующему модулю. Излагаемые понятия, определения, свойства, теоремы, знакомят с элементами теории, разобранные типовые примеры иллюстрируют конкретные приложения теоретического материала, а многочисленные задания с альтернативными ответами предоставляют студенту широкое поле для самостоятельных упражнений. Задания разделены на три части. Первая часть посвящена определителям, матрицам и системам линейных уравнений, вторая – элементам векторной алгебры, третья – прямой линии на плоскости. Значительная часть заданий представляет собой систему тестов для проверки полученных знаний, все задания имеют по 4 варианта ответов. Наличие 30 вариантов, в каждом из которых по 8-9 заданий, обеспечивает организацию индивидуальной и самостоятельной работы студентов и позволяет глубже оценить знания по рассмотренному модулю. В пособии содержится материал, составляющий логически завершенную часть курса (модуль), вместе с тем это всего лишь часть единого целого курса высшей математики, о котором у студентов должно сложиться цельное впечатление.

1.  Определители и системы линейных уравнений

1.1. Системы двух линейных уравнений и определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных и имеют два индекса: первый указывает номер уравнения, второй – номер переменной.

Правило Крамера: Решение системы находят путем деления вспомогательных определителей на главный определитель системы

,

Замечание 1. Использование правила Крамера возможно, если определитель системы не равен нулю.

Замечание 2. Формулы Крамера обобщаются и на системы большего порядка.

Пример 1. Решить систему: .

Решение.

; ;

;

Проверка:

Вывод: Система решена верно: .

1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:

.

Если то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера: