Учебные материалы по математике | Элементарные функции комплексной переменной | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Элементарные функции комплексной переменной


Рассмотрим систему проводников при .

, если нет заряда. Введем векторный потенциал направленный по нормали к выбранной плоскости и такой, что

тогда усл. К-Р

Тогда — аналитическая функция, имеет производную Вещественная часть аналитической функции — скалярный потенциал некоторого пол, а её производная описывает направление этого поля.

Пример 2:

  III.  Элементарные функции комплексной переменной

Распространение свойств этих функций действительной переменной на комплексную плоскость

1.  Степенная функция.

Рассмотри степенную функцию . Введем координату . А на плоскости W рассмотри аналогичную систему координат, но с другими обозначениями .

Тогда перепишем в виде (растягивает в раз) и (поворачивает в раз).

Аргумент может быть большим и при повороте уйти за .

2.  Многолистные и многозначные функции.

Функции, у которых разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, называются многолистными. Обратная функция при этом многозначная.

Чтобы иметь однолистное отображение, необходимо потребовать отсутствие точек, в которых выполняется равенство . Тогда мы имеем право, находиться только в секторе , и этот сектор отобразится во всю плоскость.

3.jpg 4.jpg

Рассмотрим обратную функцию

5.jpg 6.jpg

3.  Точки ветвления.

Точка ветвления – точка, при переходе которой, функция не возвращается к прежнему значению.

Точки ветвления имеют многозначные функции.

Для функции точкой ветвления является . Для — 1 и 2.

Чтобы вернуться в первую вершину нужно совершить n оборотов.

Порядок точки ветвления — минимальное число обходов, после которых функция возвращается в исходное положение.

Можно выделить ветви функции.

4.  Понятие римановой поверхности.

Каждую ветвь можем поместить на отдельную плоскость и особым образом сшить эти плоскости, так что становится возможным переход с одной плоскости на другую.

5.  Показательная функция и логарифм.

В области вещественного переменного монотонна, а в области КП – периодическая с периодом вдоль комплексной оси. . Изучать её нужно в полосе , а дальше её свойства будут повторятся. Полоса шириной отобразится во всю плоскость.

Обратная функция – логарифм , бесконечнозначная функция.

Главное значение логарифма – та ветвь, в которой аргумент

6.  Тригонометрические и гиперболические функции.

Такие функции выражаются через показательные.

формула Эйлера, из которой получаем откуда

Если получим гиперболические функции

7.jpg 1.jpg 2.jpg

  IV.  Интеграл по комплексной переменной

1.  Определение, основные свойства интеграла по комплексной переменной.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод