Элементарные функции комплексной переменной
Рассмотрим систему проводников при .
, если нет заряда. Введем векторный потенциал направленный по нормали к выбранной плоскости и такой, что
тогда усл. К-Р
Тогда — аналитическая функция, имеет производную Вещественная часть аналитической функции — скалярный потенциал некоторого пол, а её производная описывает направление этого поля.
Пример 2:
III. Элементарные функции комплексной переменной
Распространение свойств этих функций действительной переменной на комплексную плоскость
1. Степенная функция.
Рассмотри степенную функцию . Введем координату . А на плоскости W рассмотри аналогичную систему координат, но с другими обозначениями .
Тогда перепишем в виде (растягивает в раз) и (поворачивает в раз).
Аргумент может быть большим и при повороте уйти за .
2. Многолистные и многозначные функции.
Функции, у которых разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, называются многолистными. Обратная функция при этом многозначная.
Чтобы иметь однолистное отображение, необходимо потребовать отсутствие точек, в которых выполняется равенство . Тогда мы имеем право, находиться только в секторе , и этот сектор отобразится во всю плоскость.
Рассмотрим обратную функцию
3. Точки ветвления.
Точка ветвления – точка, при переходе которой, функция не возвращается к прежнему значению.
Точки ветвления имеют многозначные функции.
Для функции точкой ветвления является . Для — 1 и 2.
Чтобы вернуться в первую вершину нужно совершить n оборотов.
Порядок точки ветвления — минимальное число обходов, после которых функция возвращается в исходное положение.
Можно выделить ветви функции.
4. Понятие римановой поверхности.
Каждую ветвь можем поместить на отдельную плоскость и особым образом сшить эти плоскости, так что становится возможным переход с одной плоскости на другую.
5. Показательная функция и логарифм.
В области вещественного переменного монотонна, а в области КП – периодическая с периодом вдоль комплексной оси. . Изучать её нужно в полосе , а дальше её свойства будут повторятся. Полоса шириной отобразится во всю плоскость.
Обратная функция – логарифм , бесконечнозначная функция.
Главное значение логарифма – та ветвь, в которой аргумент
6. Тригонометрические и гиперболические функции.
Такие функции выражаются через показательные.
формула Эйлера, из которой получаем откуда
Если получим гиперболические функции
IV. Интеграл по комплексной переменной
1. Определение, основные свойства интеграла по комплексной переменной.