Учебные материалы по математике | Элементарные функции комплексного переменного | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Элементарные функции комплексного переменного


1.5. Элементарные функции комплексного

переменного

1.5.1. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Формулы Эйлера

Рассмотрим степенной ряд

.

Если z = x — действительное число, то этот ряд сходится на всей числовой оси и определяет функцию ex. . В силу теоремы Абеля, рассматриваемый ряд сходится на всей комплексной плоскости и определяет некоторую функцию комплексного переменного. Эта функция обозначается ez . Таким образом, по определению

ez = . (1.18)

Связь между функциями ez и ex такая же, как, например, между функциями z2 и x2: функция ez имеет более широкую область определения и совпадает с функцией ex при z=x. Говорят также, что функция ez является продолжением функции ex на комплексную плоскость, а функция ex — сужением функции ez на действительную ось.

Точно также определяются функции комплексного переменного cosz, sinz, сhz, shz как суммы соответствующих степенных рядов:

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Из этих определений видно, что функции cosz и chz — четные, а sinz и shz — нечетные функции переменного z.

Если в равенстве (1.18) z заменить на iz, то, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов, получим

=

,

или

. (1.23)

Если в этой формуле z заменить на —z, то получим, что

. (1.24)

Из равенств (1.23) и (1.24) находим, что

, (1.25)

(1.26)

Равенства (1.23) — (1.26) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией в комплексной области. Как известно, в действительной области эти функции не связаны между собой.

Точно так же устанавливается связь между гиперболическими функциями и показательной функцией:

, (1.27)

, (1.28)

, (1.29)

. (1.30)

Формулы (1.25), (1.26) и (1.29), (1.30) позволяют установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

chiz = cosz, shiz = isinz,

(1.31)

cosiz = chz, siniz = ishz.

Рассмотрим равенство . С помощью рядов это равенство означает, что

=

Так как перемножение рядов с комплексными членами проводится по тем же правилам, что и рядов с действительными членами, то

. = .

Следовательно, формула

(1.32)

справедлива для любых комплексных чисел z1 и z2. В частности,

.

Отсюда следует, что функция ez периодична с периодом 2pi. Из формулы (1.32) следует также, что функция ez не обращается в 0 ни при каком комплексном z. В самом деле,

½ez½=½ex+iy½=½ex(cosy+isiny)½=ex = ex ¹ 0.

С помощью формул Эйлера также доказываются соот-ношения

cos(z1+z2) = cosz1 cosz2 — sinz1 sinz2,

sin(z1+z2) = sinz1 cosz2 + sinz2 cosz1,

ch(z1+z2) = chz1 chz2 + shz1 shz2,

sh(z1+z2) = shz1 chz2 + shz1 chz2.

С помощью этих формул получаем

cos2z = cos2z — sin2z , sin2z = 2sinz cosz,

ch2z = ch2z + sh2z , sh2z = 2shz chz,

cos2z + sin2z = 1, ch2z — sh2z = 1.

Основные соотношения для тригонометрических и гиперболических функций действительного переменного сохра-няются для соответствующих функций комплексного переменного. Однако неравенства

½cosx½ £ 1, ½sinx½ £ 1

для функций cosz и sinz не сохраняются. Функции cosz и sinz могут принимать значения, сколь угодно большие по модулю. Например, при z = in имеем

cosin = (e-n + en)/2 > en/2.

1.5.2. Логарифмическая функция

комплексного переменного. Показательная

функция с любым комплексным основанием.

Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа z, если ew = z. В этом случае пишут w = Lnz. Так как ew ¹ 0, то число z=0 не входит в область определения функции Lnz.

Если w = u+iv, z = r(cosj+isinj), где r>0, то равенство

ew = z принимает вид

eu+iv = r(cosj+isinj), или eueiv = r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что

eu = r, eiv = cosv+isinv= cosj+isinj. (1.33)

Из первого равенства находим, что u=lnr=ln½z½, где lnr означает логарифм натуральный для положительных чисел. Из второго равенства (1.33) следует, что v = j+2kp = Argz. Таким образом,

Lnz = ln½z½+iArgz = ln½z½+iargz+2kpi, (1.34)

где k — любое целое число. Для любого числа z¹0, Lnz принимает бесконечно много значений.

То значение Lnz, которое соответствует главному значению аргумента числа z, называется главным и обозначается через lnz. Следовательно,

lnz = ln½z½+iargz, Lnz = lnz+2kpi. (1.35)

Пример: Найти Ln(-1).

Так как ½-1½ = 1, arg(-1) = p, то ln(-1) = ln1+pi = pi,

Ln(-1) = pi+2kpi = (2k+1)pi.

Переходим к определению показательной функции с любым комплексным основанием c ¹ 0. Если c>0

и x – действительные числа, то справедливо равенство

cx = exlnc.

Это равенство принимается за определение показательной функции от комплексного переменного z с любым комплексным основанием c¹0. Таким образом, по определению, для любых комплексных чисел c¹0 и z полагаем

cz = ezLnc. (1.36)

Так как функция Lnz принимает бесконечно много значений, то и функция cz, определяемая равенством (1.36), многозначна. Его главным значением считается то, которое получается, если в правой части равенства (1.36) вместо Lnс использовать lnс. Только при целых действительных z формула (1.36) определяет единственное значение cz.

Пример: Найти ii.

Так как ½i½ = 1, argi = p/2, то Lni = 2kpi+pi/2 = =(4k+1)pi/2, то

ii = eiLni = e-(4k+1)p/2,

где k — любое целое число. Главное значение ii равно e-p/2.

1.6. Производная от функции комплексного переменного.

Условия Коши — Римана

Пусть функция = u(x, y)+iv(x, y) определена в окрестности точки z = x+iy. Если переменной z придать приращение Dz=Dx+iDy, то функция получит приращение

D = (z+Dz)–=u(x+Dx, y+Dy)+

+ iv(x+Dx, y+Dy) — u(x, y) — iv(x, y) = [u(x+Dx, y+Dy) –

u(x, y)] + i [v(x+Dx, y+Dy) — v(x, y)] =

=Du(x, y) + iDv(x, y).

Определение. Если существует предел

= ,

то этот предел называется производной от функции в точке z и обозначается через f¢(z) или . Таким образом, по определению,

==. (1.37)

Если функция имеет производную в точке z, то говорят, что функция дифференцируема в точке z. Очевидно, для дифференцируемости функции необходимо, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f¢(z). Например, для функции w= =xiy функции u(x, y)=x

и v(x, y)=–y дифференцируемы во всех точках M(x, y), но предел отношения при Dx®0, Dy®0 не существует, так как, если Dy = 0, Dx ® 0, то Dw/Dz = 1,

если же Dx = 0, Dy ® 0, то Dw/Dz = -1.

Единого предела не существует. Это означает, что функция

w= не имеет производную ни в одной точке z. Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функции u(x, y) и v(x, y) дифферен-цируемы в точке M(x, y). Тогда для того, чтобы функция

= u(x, y) + iv(x, y)

имела производную в точке z = x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

. (1.38)

Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция имеет производную в точке z, то есть существует предел

== .(1.39)

Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит от того, по какому пути точка Dz = Dx+iDy стремится

к 0. В частности, если Dy = 0, Dx ® 0 (рис. 1.10), то

(1.40)

Если же Dx = 0, Dy ® 0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис. 1.10

Рис.1.10 Рис. 1.11

Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, из предположения о существовании производной f¢(z) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f¢(z).

1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1.38) выполнены:

.

и докажем, что в этом случае функция имеет производную в точке z= x+iy, то есть предел (1.39)

= существует.

Так как функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке M(x, y), то полное приращение этих функций в точке M(x, y) можно представить в виде

,

,

где l1®0, l2®0, m1®0, m2®0 при Dx®0, Dy®0.

Так как, в силу (1.38),

,

то

,

.

Следовательно,

+ =

=

=

= ,

где

g1 = l1+im1®0, g2 = l2+im2®0 при Dz = Dx+iDy®0.

Таким образом,

. (1.42)

Так как ½Dz½2 = ½Dx½2+½Dy½2, то ½Dx/Dz½£1, ½Dy/Dz½£1. Поэтому

при Dz ® 0.

Отсюда следует, что правая часть равенства (1.42) имеет предел при Dz ® 0, следовательно, и левая часть имеет предел при Dz ® 0, причем этот предел не зависит от того, по какому пути Dz стремится к 0. Таким образом, доказано, что если в точке M(x, y) выполнены условия (1.38), то функция имеет производную в точке z = x+iy, причем

.

Теорема доказана полностью.

В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного

,

.

С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы

, (1.43)

. (1.44)

Если функция f(z) имеет производную во всех точках области D, то говорят, что функция дифференцируема в области D. Для этого необходимо и достаточно, чтобы условия Коши-Римана выполнялись во всех точках области D.

Пример. Проверить условия Коши-Римана для

функции ez.

Так как ez= ex+iy = ex(cosy + isiny),

то u(x,y) = Reez = excosy, v(x,y) = Imez = exsiny,

поэтому

, ,

, ,

следовательно,

.

Условия Коши — Римана для функции ez выполнены во всех точках z. Таким образом, функция ez дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем

.

Точно так же доказывается дифференцируемость

функций zn, cosz, sinz, chz, shz, Lnz, и справедливость формул

(zn)¢ = n zn-1 , (cosz)¢ = — sinz, (sinz)¢ = cosz,

(chz)¢ = shz, (shz)¢ = chz, (Lnz)¢ = 1/z.

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.

1.7. Аналитические и гармонические функции.

Связь между ними

Функция = u(x, y)+iv(x, y) называется аналитической в точке z = x+iy, если она имеет производную в точке z и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области, иначе говоря, если во всех точках области D выполняются условия Коши – Римана

.

Функция u(x, y) называется гармонической в области D, если она имеет в области D непрерывные производные до второго порядка включительно и если

= 0. (1.45)

Выражение называется оператором Лап-

ласа и обозначается через , так что уравнение (1.45)

можно записать в виде = 0.

Следующие две теоремы устанавливают связь между аналитическими и гармоническими функциями.

Теорема 1. Если функция = u(x, y)+iv(x, y) аналитична в области D, то функции u(x, y) и v(x, y) гармоничны в области D.

Доказательство. Так как функция аналитична в области D, то во всех точках этой области выполняются условия Коши — Римана (1.38)

.

Предполагая, что функции u(x, y) и v(x, y) имеют в области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно, продифференцируем первое из равенств (1.38) по переменной x, а второе — по y и сложим полученные равенства. Получим

=.

Точно так же доказывается гармоничность функции v(x, y).

Теорема 2. Если функция u(x, y) гармонична в односвязной области D, то существует аналитическая функция такая, что Re = u(x, y).

Для доказательства этой теоремы достаточно найти функцию v(x, y) такую, чтобы для функции

= u(x, y)+iv(x, y) в области D выполнялись условия Коши-Римана (1.38)

, .

Эти равенства можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений для определения функции v(x, y). Проинтегрируем первое из равенств (1.38) по переменной x в пределах от x0 до x. Получим

,

отсюда следует, что

.

Полученное равенство продифференцируем по переменной y. Получим

. (1.46)

Так как функция u(x, y) гармонична в области D, то

.

Если в равенстве (1.46) сделать еще замену , то это равенство запишется в виде

.

Отсюда следует, что

, .

Таким образом,

. (1.47)

Точно так же доказывается, что

. (1.48)

С помощью формул (1.47) и (1.48) функция v(x, y), а следовательно, и функция , определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Теорема доказана.

Функции u(x, y) и v(x, y), для которых в области D выполняются условия Коши-Римана (1.38), называются взаимно сопряженными. Зная одну из них, вторая определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Пример. Дана гармоническая функция u(x, y) = x2-y2-x. Найти сопряженную ей функцию v(x, y) и аналитическую функцию = u(x, y)=iv(x, y) при дополнительном условии f(0) = 0.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой (1.48), полагая в этой формуле x0=0, y0=0. Так как

, ,

то .

Следовательно,

= (x2y2-x) + i(2xyy+C) = (x+iy)2 — (x+iy) + iC = z2-z+iC.

Из условия f(0) = 0 следует, что C = 0.

Таким образом, v(x,y) = 2xyy, f(z) = z2z.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод