Элементарные функции комплексного переменного

1.5. Элементарные функции комплексного

переменного

1.5.1. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Формулы Эйлера

Рассмотрим степенной ряд

.

Если z = x — действительное число, то этот ряд сходится на всей числовой оси и определяет функцию ex. . В силу теоремы Абеля, рассматриваемый ряд сходится на всей комплексной плоскости и определяет некоторую функцию комплексного переменного. Эта функция обозначается ez . Таким образом, по определению

ez = . (1.18)

Связь между функциями ez и ex такая же, как, например, между функциями z2 и x2: функция ez имеет более широкую область определения и совпадает с функцией ex при z=x. Говорят также, что функция ez является продолжением функции ex на комплексную плоскость, а функция ex — сужением функции ez на действительную ось.

Точно также определяются функции комплексного переменного cosz, sinz, сhz, shz как суммы соответствующих степенных рядов:

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Из этих определений видно, что функции cosz и chz — четные, а sinz и shz — нечетные функции переменного z.

Если в равенстве (1.18) z заменить на iz, то, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов, получим

=

,

или

. (1.23)

Если в этой формуле z заменить на —z, то получим, что

. (1.24)

Из равенств (1.23) и (1.24) находим, что

, (1.25)

(1.26)

Равенства (1.23) — (1.26) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией в комплексной области. Как известно, в действительной области эти функции не связаны между собой.

Точно так же устанавливается связь между гиперболическими функциями и показательной функцией:

, (1.27)

, (1.28)

, (1.29)

. (1.30)

Формулы (1.25), (1.26) и (1.29), (1.30) позволяют установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

chiz = cosz, shiz = isinz,

(1.31)

cosiz = chz, siniz = ishz.

Рассмотрим равенство . С помощью рядов это равенство означает, что

=

Так как перемножение рядов с комплексными членами проводится по тем же правилам, что и рядов с действительными членами, то

. = .

Следовательно, формула

(1.32)

справедлива для любых комплексных чисел z1 и z2. В частности,

.

Отсюда следует, что функция ez периодична с периодом 2pi. Из формулы (1.32) следует также, что функция ez не обращается в 0 ни при каком комплексном z. В самом деле,

½ez½=½ex+iy½=½ex(cosy+isiny)½=ex = ex ¹ 0.

С помощью формул Эйлера также доказываются соот-ношения

cos(z1+z2) = cosz1 cosz2 — sinz1 sinz2,

sin(z1+z2) = sinz1 cosz2 + sinz2 cosz1,

ch(z1+z2) = chz1 chz2 + shz1 shz2,

sh(z1+z2) = shz1 chz2 + shz1 chz2.

С помощью этих формул получаем

cos2z = cos2z — sin2z , sin2z = 2sinz cosz,

ch2z = ch2z + sh2z , sh2z = 2shz chz,

cos2z + sin2z = 1, ch2z — sh2z = 1.

Основные соотношения для тригонометрических и гиперболических функций действительного переменного сохра-няются для соответствующих функций комплексного переменного. Однако неравенства

½cosx½ £ 1, ½sinx½ £ 1

для функций cosz и sinz не сохраняются. Функции cosz и sinz могут принимать значения, сколь угодно большие по модулю. Например, при z = in имеем

cosin = (e-n + en)/2 > en/2.

1.5.2. Логарифмическая функция

комплексного переменного. Показательная

функция с любым комплексным основанием.

Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа z, если ew = z. В этом случае пишут w = Lnz. Так как ew ¹ 0, то число z=0 не входит в область определения функции Lnz.

Если w = u+iv, z = r(cosj+isinj), где r>0, то равенство

ew = z принимает вид

eu+iv = r(cosj+isinj), или eueiv = r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что

eu = r, eiv = cosv+isinv= cosj+isinj. (1.33)

Из первого равенства находим, что u=lnr=ln½z½, где lnr означает логарифм натуральный для положительных чисел. Из второго равенства (1.33) следует, что v = j+2kp = Argz. Таким образом,

Lnz = ln½z½+iArgz = ln½z½+iargz+2kpi, (1.34)

где k — любое целое число. Для любого числа z¹0, Lnz принимает бесконечно много значений.

То значение Lnz, которое соответствует главному значению аргумента числа z, называется главным и обозначается через lnz. Следовательно,

lnz = ln½z½+iargz, Lnz = lnz+2kpi. (1.35)

Пример: Найти Ln(-1).

Так как ½-1½ = 1, arg(-1) = p, то ln(-1) = ln1+pi = pi,

Ln(-1) = pi+2kpi = (2k+1)pi.

Переходим к определению показательной функции с любым комплексным основанием c ¹ 0. Если c>0

и x – действительные числа, то справедливо равенство

cx = exlnc.

Это равенство принимается за определение показательной функции от комплексного переменного z с любым комплексным основанием c¹0. Таким образом, по определению, для любых комплексных чисел c¹0 и z полагаем

cz = ezLnc. (1.36)

Так как функция Lnz принимает бесконечно много значений, то и функция cz, определяемая равенством (1.36), многозначна. Его главным значением считается то, которое получается, если в правой части равенства (1.36) вместо Lnс использовать lnс. Только при целых действительных z формула (1.36) определяет единственное значение cz.

Пример: Найти ii.

Так как ½i½ = 1, argi = p/2, то Lni = 2kpi+pi/2 = =(4k+1)pi/2, то

ii = eiLni = e-(4k+1)p/2,

где k — любое целое число. Главное значение ii равно e-p/2.

1.6. Производная от функции комплексного переменного.

Условия Коши — Римана

Пусть функция = u(x, y)+iv(x, y) определена в окрестности точки z = x+iy. Если переменной z придать приращение Dz=Dx+iDy, то функция получит приращение

D = (z+Dz)–=u(x+Dx, y+Dy)+

+ iv(x+Dx, y+Dy) — u(x, y) — iv(x, y) = [u(x+Dx, y+Dy) –

– u(x, y)] + i [v(x+Dx, y+Dy) — v(x, y)] =

=Du(x, y) + iDv(x, y).

Определение. Если существует предел

= ,

то этот предел называется производной от функции в точке z и обозначается через f¢(z) или . Таким образом, по определению,

==. (1.37)

Если функция имеет производную в точке z, то говорят, что функция дифференцируема в точке z. Очевидно, для дифференцируемости функции необходимо, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f¢(z). Например, для функции w= =x–iy функции u(x, y)=x