Экстримальное свойство коэффициентов фурье

Док-во: сходится равномерно к f(x) на [a, b].

, т. е.

Если U сходится в среднем, то равномерная сходимсоть не следует.

Поточечная сходимость и сходимость в среднем не связаны.

Экстримальное свойство коэффициентов Фурье.

ортонормированная система ф-ций

Подобрать коэф. таким образом, чтобы

Если подберем такие , то будем говорить, что многочлен опроксимирует функцию f(x) в среднем (в смысле метода наименьших квадратов).

Теор: Среди всех обобщенных многочленов наилучшей средней квадратичной опроксимацией функции f(x) на [a, b] является многочлен Фурье, т. е. такой многочлен, коэф которого вычисляются по формуле: ????

если

30. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля –Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций.

Последов. ограничена и возрастающая, значит она имеет предел, т е сходиться.

Для ортогональной сис-мы функций :

Теорема: Для того, чтобы обобщ. Ряд Фурье сходился в среднем к функции f(x) на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось в равенство Парсеваля:

Док-во.

Опр.: Ортогональная сис-ма функций (фи) на L2[a, b] называется полной (или замкнутой), если для любой f(x) принадлежащей L2[a, b] выполняется равенство Парсеваля.

Понятие полной или замкнутой сис-мы функций отличается от понятия базиса в бесконечномерном пространстве.

Вывод: Любую функцию f(x) в L2[a, b] можно разложить в сходящийся к ней в среднем ряд Фурье по ортогональной на [a, b] сис-ме функций, если эта сис-ма является полной (или замкнутой) в пространстве L2[a, b]

31. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций.

1) Ряд Фурье для период-ой функции с периодом T=2L.

Пусть f(x) – кусочно — непрерывная период-кая ф-ция с периодом T=2L

f(x) принадлежит L2[-L, Ll].

(1,cos(Пx)/L, sin(Пx)/L, cos(2Пx)/L, sin(2Пx)/L,…., cos(nПx)/L, sin(nПx)/L,…) (*)

Опр. Тригонометрическим рядом Фурье для периодической функции f(x) принадлежащей L2 [a, b] называется ряд вида:

Замечание:

1) Пусть f(x)-четная на [-L, L], тогда:

2)Пусть f(x) –нечетная на L2 [a, b], тогда:

Равеннство Ляпунов.:

Теорема: Основная тригонометрическая сис-ма функций является полной в пространстве L2 [-L, L].

Это означает, что ряд Фурье для периодической функции f(x) на [-L;L] сходится в среднем к функции f(x).

2) Ряд Фурье для периодической функции с периодом Т=2П (L=П).

а) если f(x) – четная, то б) если f(x) – нечетная, то

32. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье.

Опр.: Кусочно-непрерывная функция f(x) называется кусочногладкой на [a, b], если f’(x) имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.

Теорема1. Если f(x) принадл. L2 [-L, L], то её тригонометрич. ряд Фурье сходится в среднем к f(x) на [-L, L].

Это след. из полноты и замкнутости основной тригонометр. сис-мы.

Теорема2.(Дерихле) Если f(x) принадлеж. L2[-L, L] – кусочногладкая на [-L, L], то ее тригонометрич. ряд Фурье сходиться в каждой точке этого отрезка и для суммы Sn ряды Фурье выполняется: