Учебные материалы по математике | Экстремум функции двух переменных | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Экстремум функции двух переменных


Полный дифференциал используется для приближенных вычислений, так как Δfdf (3)

Пр. (1.02)3,01 f(x, e)=xy; x0=1, y0=3; f(x0,y0)= 13=1

f( x, y)≈ f(x0,y0)+ ðf(x0,y0)/ðx*x-x0+ðf(x0,y0)/ðy*y-y

dx=1,02-1=0,02; dy=3,01-3=0,01;

ðf/ðx=yxy-1|x=x0, y=y0;=3*13-1=3; ðf/ðx=xylim x|x=1, y=3;=0;

f(1,02; 3,01)≈1+3*0,02=0,06

4.Экстремум функции двух переменных.

(·)M (x0,y0) – наз. (·) локального максимума функции f (x, y), если выполняется неравенство. f(x,y)≤f (x0,y0) (множества (х, у).єИδ(x0,y0) )(1). (·)M (x0,y0) – наз. (·) локального минимума функции f (x, y), если выполняется неравенство. f(x,y)≥f (x0,y0) (множества (х, у).єИδ(x0,y0) )(2). Максимум и минимум её функции наз. её экстремумом. (·)M (x0,y0) в которой достигается экстремум функции наз. (·) экстремума функции.

Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума). Если (·)M (x0,y0) явл. (·)локального экстремума, то в этой (·)частной производной часто =0. ð f(x0,y0)/ðx = ð f(x0,y0)/ðy=0; или ходьбы одно из частных не сущ. (·) в которых частный производные = 0, наз. стационарными точками двух переменных функций. То есть если экстремум в (·) М достигается, то она обязательно будет стационарной, однако если (·) М явл. стационарной, то в этой точке не обезательно достигается экстремум. Поэтому должны быть достаточно сформулированы условия сущ. экстремума. А=fxx»; B=fxy»; C=fyy»; Δ=AC-B².

Теорема 2 (достаточный условия экстремума локального). Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные, до 3 порядка включительно в некоторый области содержащие стационарную точку М, тогда если:

1) Δ>0, то (·) М (x0,y0) явл. (·) экстремума для данной функции, причем А<0, (·)максимума и А>0 (·)минимума.

2) Δ<0, то (·) М (x0,y0) экстремума нет.

3) Δ=0, то экстремум может быть, а может и не быть, требуются дополнительные исследования.

Пр. Найти экстремум двух переменных. z=x²+xy+y²-3x-6y

1) ðz/ðx=2x+y-3=0; y=-2x+3; y=-2x+3; x=0;

dz/dy=x+2y-6=0; x+2*(-2x+3)-6=0; -3x=0; y=3; (·) M

2) ð²z/ðz²=2; A=2; ð²z/ðxðy=1; B=1; ð²z/ðy²=2; C=2;

|AC-B²|=|AB; BC|=2*2-1²=3. Если Δ>0, то в (·) М, есть экстремум. Т. к. А=2>0, то в (·) М1 – минимум.

3) z min (M1)=0²+0*3+3²-3*0-6*3=-9;

5.Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Пусть z= f(x, y) определены в замкнутой области Д с границей Г, дифференцируема во всех внутренних точках, тогда сущ. точки Р1 (x1, x1) (·)P2(x2, x2) в которых функция z прим. наибольшее и наименьшее значение (глобальный экстремум). (·) Р1 и Р2 или среди стационарных точек в нутрии области Д или среди точек принадлежащие границе. Сравнивая значения функции z в этих точках, и выбираем самое большое (наибольшее) и самое маленькое (наименьшее). Пр. найти наибольшее и наименьшее значение f. Z=3x+y-xy, в области Д: y=x; y=4;x=0.

1.Начертить область Д.

2.Находим стационарные точки. ðz/ðx=3-y=0; y=3; ðz/ðy=1-x=0; x=1;

Найдём границы области ОА: x=0→ОА/z=y; z’=1≠0.

Исследуем граничные точки.

DSC09808DSC09806Границе АВ: y=4→AB; z=3x+4-4x=-x+4; z’=(-x+4)’=-1≠0;

Границе OВ: y=x; z=3x+x –x*x=-x²+4x; z’=-2x+4; z’=0→ -2x+4=0; x=2; y=2.

z min=z(0)=0, z min=z(B)=0; z max=z(A)=4; z max=z(M2)=4; (·)M2(2, 2).

6.Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл. Пусть функция z= f(x, y) не отрицательная, не непрерывная, в замкнутой ограниченной областью, уравнение z = f(x, y) в пространстве определяется некоторую поверхность F, проекции которой на плоскость х, оу совпадает с областью Д. Тело ограниченное поверхностью, F с низу областью Д и вертикальной поверхность, в вдоль границы поверхности Д наз. криволинейный цилиндр. Выполним следующие действия:

DSC098121. Разобьём область Д гладкими дугами на n частей Дi. Обозначим S(Дi) – площадь области Дi.

2. Выберем в каждой частной области Дi произвольную (·)Mi (xi, yi) и вычислим значение функции z в выбранных (·). Z (Mi) и составим сумму которая наз. интегральной суммой. Vn=f(M1)*S (Д1)+f(M2)*S (Д2)+…+f (Mn)*S (Дn) = Σn i=1f (Mi)*S (Дi). Каждое слагаемое f (Mi)*S (Дi) можно представить геометрически как объём малого цилиндра. Основание которого Дi, а высота f (Mi). Сумм Vn – есть сумма элементарных цилиндров. При увеличении количества Дi, то есть при n→∞, Vn→объёму криволинейного цилиндра. Расм. lim n→∞ Σn i=1f (Mi)*S (Дi).

Опр.: Если сущ. этот предел независящий от способа разбиение области Д на часть Д и от выбора (·)Mi, то он наз. двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, то есть: lim n→∞ Σn i=1f (Mi)*Si) = ∫∫д f(x, y)dxdy (1). Область д – наз. областью интегрирования, x, y – переменные интегрирования. dxdy=Si) – элемент площади.

Для какой функции сущ. двойной интеграл?

Теорема: Если функция z= f(x, y) – непрерывна в замкнутой области Д, но она интегрируема в этой области.

Геометрический смысл: Объём цилиндра ограниченное сверху z = f(x, y), снизу замкнутой областью, Д є x0y, с боков цилиндрический поверхность (криволинейный цилиндр). Произведём действие записанные в предыдущем пункте. Объём цилиндра Vi=f (Mi)*Si).Объём криволинейной цилиндра Vкр. ц.= Σn i=1Vi – это равенство тем точнее, тем что чем меньше Дi, тем больше n. Vкр. ц.= lim n→∞ Σn i=1f (Mi)*Si)= ∫∫д f(x, y)dxdy (2).

Вывод: величина двойного интеграла от неотрицательной функции = объёму цилиндрического тела.

7.Физический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

Масса плоской пластинки требуется найти массу М пластинки Д зная, что поверхностная плотность γ=γ(x, y) –непрерывная функция.

Произведём действия из первого пункта. Произведение γ(xi, yi)*S(Дi), есть масса элементарной области mi, тогда m=lim n→∞Σmi; m= Σn i=1mi= lim n→∞ γ(xi, yi)*Si)=∫∫д f(x, y)dxdy (3).Вывод: двойной интеграл от плотности γ(x, y), численно равен массе пластинки Д — физ. смысл.

Основные свойства двойного интеграла:

Пусть функция z1= f(x, y), z2= g(x, y) интегрируемы в области Д тогда:

1)∫∫Д c*f(x, y)dxdy=c∫∫Д f(x, y)dxdy, c=const;

2)∫∫[f(x, y)±g(x, y)]dxdy=∫∫Д f(x, y)dxdy± ∫∫Д g(x, y)dxdy

3)Если f(x, y)≥ ∫∫(x, y)dxdy∫≥0

4)Если область Д состоит из двух областей Д=Д1UД2, тогда ∫∫ Д f(x, y)dxdy =∫∫ Д1 f(x, y)dxdy+∫∫ Д2 f(x, y)dxdy

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод