Единственность деления с остатком

Если или , то процесс закончен.

Пусть теперь, старший коэффициент равен . Строим многочлен . .

И так далее…

Получим многочлены , степени которых, являясь целыми неотрицательными числами, удовлетворяют неравенствам: Следовательно, через конечное число шагов получим такой многочлен , что или . .

Сложив почленно равенства , , ,…, , получим

. То есть , возможность деления с остатком доказана.

2. Единственность деления с остатком.

Допустим, что

, где или

, где или

Отсюда имеем:

Если , то есть , то так как , то из равенства имеем, что и единственность деления с остатком доказана.

Пусть теперь . Тогда из равенств . Если при этом , то . Значит и . Единственность деления с остатком доказана. ▲.

Пример: Разделить многочлен на .

Значит .

ВОПРОС № 12 Алгоритм Евклида для целых чисел и для многочленов. НОД и НОК.

Опр.1. Пусть — целые числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Наибольшим общим делителем чисел а1,…,аk называется такое целое число , что:

1) ;

2) — общий делитель этих чисел (то есть ).