Учебные материалы по математике | Доверительный интервал для оценки вероятности | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Доверительный интервал для оценки вероятности


, (q=q )

находят по таблице приложения 4 по заданным n и .

Если q>1 и выражение <0, то в этом случае доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения определяется по формуле

.

Доверительный интервал для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте с надежностью равен

,

,

где n – общее число испытаний;

t – значение аргумента функции Лапласа, при котором (приложение 2);

m – число появлений события А при n независимых испытаниях;

— относительная частота появления события А при n независимых испытаниях.

При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые и очень малы и множитель , поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала величины

.

Пример 1.

Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =2. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью 0,95, если по выборке объема n=16 выборочное среднее равно =4,1.

Решение.

По таблице приложения 2 найдем значение параметра t функции Лапласа

t=1,96.

;

.

Ответ: .

Пример 2.

Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

Решение.

По данным =0,999 и n=10 найдем величину q=1,80. Т. к. q>1, то будем находить доверительный интервал вида

0< < ;

0< <0,16∙(1+1,80); 0< <0,448.

Ответ: 0<<0,448.

Пример 3.

По данным 9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью =0,95.

Решение.

Истинное значение случайной величины равно ее математическому ожиданию и задача сводится к нахождению доверительного интервала для оценки математического ожидания при неизвестном .

.

По заданным =0,95 и n=9 по таблице приложения 3 находим

=.

Найдем доверительные границы:

;

.

Ответ: С надежностью =0,95 истинное значение измеряемой физической величины заключено в доверительном интервале 38,469<a<46,169.

Пример 4.

Построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения при n=9, s=3, =6.

Решение.

Решим задачу двумя способами.

1)  Примем в качестве среднего квадратического отклонения «исправленное» среднее квадратическое отклонение, т. е.

=s=3,

и найдем искомый доверительный интервал по формуле

.

По приложению 2 найдем из соотношения

;

=6-,

=6+1,96=7,96,

тогда доверительный интервал для оценки математического ожидания равен

4,04<a<7,96.

2)  Будем считать, что неизвестно и найдем искомый доверительный интервал по формуле

.

По таблице приложения 3 найдем

;

=,

=.

Таким образом, доверительный интервал равен

3,69<a<8,31

В первом случае длина интервала равна 7,96 – 4,04=3,92, во втором случае – 8,31 – 3,69=4,62.

Мы видим, что во втором случае с помощью закона Стьюдента получен более широкий доверительный интервал для оценки математического ожидания по сравнению с результатом, полученным для нормального закона распределения. При использовании t – распределения учитывается, что никакой дополнительной информации о дисперсии генеральной совокупности кроме той, которую дает выборка, нет. Поэтому использование при оценке математического ожидания нормального закона распределения при малом объеме выборки n и неизвестной дисперсии привело бы к неоправданному сужению доверительного интервала.

Итак, для оценки математического ожидания нормального распределения по малым выборкам и неизвестном следует пользоваться t – распределением Стьюдента.

Пример 5.

Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p биномиального распределения с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Решение.

По условию n=80; m=16; .

Найдем относительную частоту появления события А:

.

Найдем аргумент t функции Лапласа из соотношения

.

Найдем концы интервала p1 и p2:

Ответ: искомый доверительный интервал 0,128<p<0,299.

Пример 6.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки n=25.

Решение.

Требуется найти доверительный интервал

.

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения 2 находим t=1,96. Подставив t=1,96, =14, =5, n=25 в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04<a<15,96.

Контрольная работа

Задание № 1.

Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсию совокупности, состоящей из трех групп.

I II III

1.

2

4

5

1

7

2

3

8

2

3

1

3

5

5

2

3

2.

1

2

7

4

4

2

4

6

7

3

1

2

3

3

5

2

3.

2

7

6

4

2

3

4

5

2

3

1

3

4

6

3

1

4.

2

3

5

7

1

2

1

2

4

2

7

1

5

7

4

6

5.

2

4

6

5

4

1

1

3

5

4

5

1

2

7

8

2

6.

4

6

2

8

2

4

5

2

7

1

3

4

5

3

5

2

7.

1

4

6

4

2

4

4

5

8

2

1

3

4

3

5

2

8.

3

5

6

4

2

4

7

5

3

2

1

5

6

7

2

1

9.

1

4

8

6

3

1

3

6

7

3

3

4

7

5

2

3

10.

3

7

8

2

2

4

6

3

5

2

3

5

7

6

2

2

Задание № 2

1. Найти доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения с надежностью по выборке:

,

если .

2. Событие А в серии из испытаний Бернулли произошло раз. Найти интервальную оценку для вероятности Р событий А с надежностью .

3. Найти минимальный объем выборки из нормальной генеральной совокупности, при котором с надежностью не меньшей , погрешность средней, найденная по этой выборке, будет меньше 0,3, если .

4. Для оценки параметров нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема 30 и вычислено . Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,90.

5. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью Р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки Р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.

6. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, по выборке объема 16 найдено . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

7. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с см. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5м при надежности 0,9?

8. Произведено 5 независимых наблюдений С. В. Х (нормальное распределение,неизвестно): x1=-25, x2=34, x3=-20, x4=10, x5=21. При уровне значимости 0,95 найти доверительный интервал для параметра .

9. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены: ч и ч. Считая, что срок службы лампы является нормально распределенной С. В. Найти с надежностью 0,9 доверительный интервал для параметра .

10. С. В. распределена по нормальному закону с параметром . По выборке объема найти интервальную оценку параметра .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод