Доверительный интервал для оценки вероятности
, (q=q )
находят по таблице приложения 4 по заданным n и .
Если q>1 и выражение <0, то в этом случае доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения определяется по формуле
.
Доверительный интервал для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте с надежностью равен
,
,
где n – общее число испытаний;
t – значение аргумента функции Лапласа, при котором (приложение 2);
m – число появлений события А при n независимых испытаниях;
— относительная частота появления события А при n независимых испытаниях.
При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые и очень малы и множитель , поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала величины
.
Пример 1.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =2. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью 0,95, если по выборке объема n=16 выборочное среднее равно =4,1.
Решение.
По таблице приложения 2 найдем значение параметра t функции Лапласа
t=1,96.
;
.
Ответ: .
Пример 2.
Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.
Решение.
По данным =0,999 и n=10 найдем величину q=1,80. Т. к. q>1, то будем находить доверительный интервал вида
0< < ;
0< <0,16∙(1+1,80); 0< <0,448.
Ответ: 0<<0,448.
Пример 3.
По данным 9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью =0,95.
Решение.
Истинное значение случайной величины равно ее математическому ожиданию и задача сводится к нахождению доверительного интервала для оценки математического ожидания при неизвестном .
.
По заданным =0,95 и n=9 по таблице приложения 3 находим
=.
Найдем доверительные границы:
;
.
Ответ: С надежностью =0,95 истинное значение измеряемой физической величины заключено в доверительном интервале 38,469<a<46,169.
Пример 4.
Построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения при n=9, s=3, =6.
Решение.
Решим задачу двумя способами.
1) Примем в качестве среднего квадратического отклонения «исправленное» среднее квадратическое отклонение, т. е.
=s=3,
и найдем искомый доверительный интервал по формуле
.
По приложению 2 найдем из соотношения
;
=6-,
=6+1,96=7,96,
тогда доверительный интервал для оценки математического ожидания равен
4,04<a<7,96.
2) Будем считать, что неизвестно и найдем искомый доверительный интервал по формуле
.
По таблице приложения 3 найдем
;
=,
=.
Таким образом, доверительный интервал равен
3,69<a<8,31
В первом случае длина интервала равна 7,96 – 4,04=3,92, во втором случае – 8,31 – 3,69=4,62.
Мы видим, что во втором случае с помощью закона Стьюдента получен более широкий доверительный интервал для оценки математического ожидания по сравнению с результатом, полученным для нормального закона распределения. При использовании t – распределения учитывается, что никакой дополнительной информации о дисперсии генеральной совокупности кроме той, которую дает выборка, нет. Поэтому использование при оценке математического ожидания нормального закона распределения при малом объеме выборки n и неизвестной дисперсии привело бы к неоправданному сужению доверительного интервала.
Итак, для оценки математического ожидания нормального распределения по малым выборкам и неизвестном следует пользоваться t – распределением Стьюдента.
Пример 5.
Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p биномиального распределения с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.
Решение.
По условию n=80; m=16; .
Найдем относительную частоту появления события А:
.
Найдем аргумент t функции Лапласа из соотношения
.
Найдем концы интервала p1 и p2:
Ответ: искомый доверительный интервал 0,128<p<0,299.
Пример 6.
Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки n=25.
Решение.
Требуется найти доверительный интервал
.
Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения 2 находим t=1,96. Подставив t=1,96, =14, =5, n=25 в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04<a<15,96.
Контрольная работа
Задание № 1.
Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсию совокупности, состоящей из трех групп.
I II III
1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
Задание № 2
1. Найти доверительный интервал для оценки параметра нормального распределения с надежностью по выборке:
,
если .
2. Событие А в серии из испытаний Бернулли произошло раз. Найти интервальную оценку для вероятности Р событий А с надежностью .
3. Найти минимальный объем выборки из нормальной генеральной совокупности, при котором с надежностью не меньшей , погрешность средней, найденная по этой выборке, будет меньше 0,3, если .
4. Для оценки параметров нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема 30 и вычислено . Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,90.
5. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью Р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки Р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.
6. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, по выборке объема 16 найдено . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.
7. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с см. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5м при надежности 0,9?
8. Произведено 5 независимых наблюдений С. В. Х (нормальное распределение,неизвестно): x1=-25, x2=34, x3=-20, x4=10, x5=21. При уровне значимости 0,95 найти доверительный интервал для параметра .
9. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены: ч и ч. Считая, что срок службы лампы является нормально распределенной С. В. Найти с надежностью 0,9 доверительный интервал для параметра .
10. С. В. распределена по нормальному закону с параметром . По выборке объема найти интервальную оценку параметра .