Доверительные интервалы

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

26. Доверительные интервалы.

Пусть вид распределения изучаемого признака Х известен , но неизвестно значение входящего параметра (тетта). Оценка неизвестного параметра, которая задается двумя числами (концами интервала) называется интервальной. Пусть по выборке получена точечная оценка неизвестного параметра . Эта оценка тем точнее, чем меньше | — |. Пусть | — | < , где >0. Методы математической статистики не позволяют на 100% утверждать, что выполняется это неравенство. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения P(| — | < ) =. Величина — называется доверительной вероятностью или надежностью, в качестве выбирается число исследователем близко к единице: 0,95; 0,99; 0,995. Раскрыв знак модуля получим определение доверительного интервала

. Доверительным называется интервал (— ; +), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . называется точностью оценки. Замечание: Неверно говорить, что попадает в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе . Доверительные интервалы строятся следующим образом: 1) вычисляется точечная оценка , 2) выбирается надежность , 3) вычисляется точность оценки .

.

27. Распределения , Стьюдента и Фишера.

Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

Распределение (хи-квадрат). Пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина

называется распределенной по закону с n степенями свободы. Матожидание и дисперсия распределения .

При nраспределение медленно стремится к нормальному. Распределение Стьюдента. Пусть независимы и распределена по нормальному закону, распределена по закону с k степенями свободы, тогда случайная величина

называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы. При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному. Матожидание и дисперсия .Распределение Фишера. Пусть независимы и имеют распределение с k1 и k2 числом степеней свободы. Тогда сл. величина

называется распределенной по закону Фишера с k1 и k2 числом степеней свободы.

ЗамечаниеСлучайная величина Фишера строится так что она всегда больше1

.

28. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распрраспределения.

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке доверительный интервал для оценки . Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение . 1. Значение параметра известно. Доверительный интервал будет иметь вид: Точность, где n – объем выборки вычисляется по формуле = , где =, значение числа находится с помощью таблиц функции Лапласа. 2. Пусть неизвестно. В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, только вместо нужно подставить его оценку:.