Учебные материалы по математике | Дискретно распределенная св | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Дискретно распределенная св


16. Дискретно распределенная СВ

СВ дискретная-если она принимает конечное либо счетное число значений.

17.Непрерывно распределенная СВ

Непрерывная СВ – это СВ, кот. может принимать все значения из некоторого промежутка. Для характеристики НСВ исп. функция распределения вероятностей, кот. представляет собой вероятность события Х<х: F(x) = P(X<x). Если вероятность события х будет больше, чем х1 (Х<х1), ровна F(x1), а вероятность события X<x2 ровна F(x2), то вероятность того, что Х заключена между значениями х1 и х2 ровна разности соответствующих значений фун-ции распределения, т. е. P(x1<X<x2) = F(x2) – F(x1). Плотностью распределения вероятностей НСВ наз. производноеот её фун-ции распределения (f(x)): f(x) = F’(x)

F(x) =

Свойства: 1) 2) (основное св-во); 3) 4)

Аналитическое выражение для фун-ций распределения вероятностей или плотности распределения носят название закона распределения. График плотности распределения наз. кривой распределения.Математ. ожиданием НСВ Х наз. значение интеграла:

Дисперсией НСВ называют значение

Ср. квадратическое отклонение

Мода Мо(х) – это такое значение, кот соответствует макс. значение её плотности вероятности. Медианой Ме(х) – такое её значение кот. соответствует ср. значение её плотности вероятности. Начальные и центральные моменты определяются по формулам:

18.Биномин. закон распределения СВ

Законом распределения СВ наз. соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями. Задача:Пусть проводится n-испытаний, в каждом из которых А имеет одну и ту же вероятность Р(А)=р. Если вероятность события А ровна р, то вер-ть противоположному ровно Р(А)=1-p=q. В условиях схемы Бернулли необходимо определить вероятность того, что при проведении n-независимых испытаний, что в m испытаний наступит событие А.
Для этого используем формулу Бернулли:

Теорема: Матеем. ожидание числа появления события А в n-независимых испытаниях ровно произведению числа испытаний на вероятность появления события А в каждом из них: M(X)=np.

Теорема: дисперсия числа появления события А в n-независимых испытаниях ровна произведению числа испытаний на вероятности появлений события А: Д(Х)=npq.

Среднееквадратическоеотклонение:

Биноминальный закон распределения приходится применять, когда число независимых испытаний достаточно велико. Вычисление вероятности по схеме Бернулли значительно усложняется, поэтому имеет место ассимтотическое приближение. Возможны два случая:1) когда при увеличении число испытаний матем/ ожидание также неограниченно растёт, при этом биноминальное распределение сводится к нормальному; 2) когда при увеличении числа независимых испытаний матем/ ожидание остаётся постоянным; биноминальное распределение в этом случае сводится к распределению Пуассона.

19.Распределение Пуассона CB

СВ наз. распределённой по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значение 0,1,2,..,n и их соответствующая вероятность определяется по формуле Пуассона.

Числовые характеристики данной случайной величины определяется по формуле М(Х)= Д(Х)=

20.Нормальный закон распределение СВ (распределение Гаусса)

Нормальным называют такую величину Х, плотность и вероятность, кот. описывается

фун-цей Гаусса:

где δ — среднее квадратическое отклонение, М(Х) – матем. ожидание. Эти две величины являются параметрами нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в отрезок [] вычисляется по формуле:

21. Мат. ожидание СВ и его св-а.

Мат. ожидание дискретной случайной вылечены — это сумма парных произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:

М(Х)=

Где =1

Свойства мат. ожидания:

1.  Мат. ожидание постоянной величины С равно этой величине.

М(С)=С*1=С

2.  М(СХ)=С*М(Х)

3.  М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4.  М(Х-У)=М(Х)-М(У)

5.  М(Х*У)=М(Х)*М(У)

22.Дисперсия СВ

Дисперсия случайных величины Х — называют чистло

Д(Х)=М((Х-М(х))^2)=М(х^2)-(М(х)^2

Свойства Д(х):

1.  Д(х)≥0

2.  Д(С)=0, где С — const

3.  Д(СХ)=С^2Д(х)

4.  Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

23. Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал.

Во многих практических задачах требуется опередить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функций распределения вероятности в граничных точках этого интервала:

В случае нормального распределения:

Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:P(x1<X<x2)=Ф(t2)-Ф(t1)

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции

, для её вычисления используют специальные таблицы или методы приближённого вычисления.

24. Неравенство Чебышева

Первое неравенство Чебышева-Маркова:

Для каждой неотрицательной СВ х, имеется мат. ожидание М(Х), при любом ε>0, справедливо неравенство:Р(х≥ ε)<М(х)/ ε

Второе неравенство Чебышева.

Для каждой СВ х, имеют дисперсию σ^2 при любой ε>0, справедливо неравенство:

Теорема Чебышева:

Пусть Х1 Х2……….Хn попарно независимые случайные величины, если их дисперсии ограничены, то для сколь угодно малого числа ε, вероятности неравенства :

,

будет сколь угодно близко к 1.

42. Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия наз. критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К. Пирсона («хи квадрат»). Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты……………

Эмпирические частоты…

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Доказано, что при n®¥ закон распределения СВ (А) стремится к закону распределения с степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называют критерием согласия .Число степеней свободы определяется из равенства , где s – число групп (частичных интервалов) выборки,
r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (матем. ожидание и ср. квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы .Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости :.Т. о. правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством . Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:Для того, чтобы при заданном ур-е значимости проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод