Дискретно распределенная св

16. Дискретно распределенная СВ

СВ дискретная-если она принимает конечное либо счетное число значений.

17.Непрерывно распределенная СВ

Непрерывная СВ – это СВ, кот. может принимать все значения из некоторого промежутка. Для характеристики НСВ исп. функция распределения вероятностей, кот. представляет собой вероятность события Х<х: F(x) = P(X<x). Если вероятность события х будет больше, чем х1 (Х<х1), ровна F(x1), а вероятность события X<x2 ровна F(x2), то вероятность того, что Х заключена между значениями х1 и х2 ровна разности соответствующих значений фун-ции распределения, т. е. P(x1<X<x2) = F(x2) – F(x1). Плотностью распределения вероятностей НСВ наз. производноеот её фун-ции распределения (f(x)): f(x) = F’(x)

F(x) =

Свойства: 1) 2) (основное св-во); 3) 4)

Аналитическое выражение для фун-ций распределения вероятностей или плотности распределения носят название закона распределения. График плотности распределения наз. кривой распределения.Математ. ожиданием НСВ Х наз. значение интеграла:

Дисперсией НСВ называют значение

Ср. квадратическое отклонение

Мода Мо(х) – это такое значение, кот соответствует макс. значение её плотности вероятности. Медианой Ме(х) – такое её значение кот. соответствует ср. значение её плотности вероятности. Начальные и центральные моменты определяются по формулам:

18.Биномин. закон распределения СВ

Законом распределения СВ наз. соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями. Задача:Пусть проводится n-испытаний, в каждом из которых А имеет одну и ту же вероятность Р(А)=р. Если вероятность события А ровна р, то вер-ть противоположному ровно Р(А)=1-p=q. В условиях схемы Бернулли необходимо определить вероятность того, что при проведении n-независимых испытаний, что в m испытаний наступит событие А.
Для этого используем формулу Бернулли:

Теорема: Матеем. ожидание числа появления события А в n-независимых испытаниях ровно произведению числа испытаний на вероятность появления события А в каждом из них: M(X)=np.

Теорема: дисперсия числа появления события А в n-независимых испытаниях ровна произведению числа испытаний на вероятности появлений события А: Д(Х)=npq.

Среднееквадратическоеотклонение:

Биноминальный закон распределения приходится применять, когда число независимых испытаний достаточно велико. Вычисление вероятности по схеме Бернулли значительно усложняется, поэтому имеет место ассимтотическое приближение. Возможны два случая:1) когда при увеличении число испытаний матем/ ожидание также неограниченно растёт, при этом биноминальное распределение сводится к нормальному; 2) когда при увеличении числа независимых испытаний матем/ ожидание остаётся постоянным; биноминальное распределение в этом случае сводится к распределению Пуассона.

19.Распределение Пуассона CB

СВ наз. распределённой по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значение 0,1,2,..,n и их соответствующая вероятность определяется по формуле Пуассона.

Числовые характеристики данной случайной величины определяется по формуле М(Х)= Д(Х)=

20.Нормальный закон распределение СВ (распределение Гаусса)

Нормальным называют такую величину Х, плотность и вероятность, кот. описывается

фун-цей Гаусса:

где δ — среднее квадратическое отклонение, М(Х) – матем. ожидание. Эти две величины являются параметрами нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в отрезок [] вычисляется по формуле:

21. Мат. ожидание СВ и его св-а.

Мат. ожидание дискретной случайной вылечены — это сумма парных произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:

М(Х)=

Где =1

Свойства мат. ожидания:

1.  Мат. ожидание постоянной величины С равно этой величине.

М(С)=С*1=С

2.  М(СХ)=С*М(Х)

3.  М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4.  М(Х-У)=М(Х)-М(У)

5.  М(Х*У)=М(Х)*М(У)

22.Дисперсия СВ

Дисперсия случайных величины Х — называют чистло

Д(Х)=М((Х-М(х))^2)=М(х^2)-(М(х)^2

Свойства Д(х):

1.  Д(х)≥0

2.  Д(С)=0, где С — const

3.  Д(СХ)=С^2Д(х)

4.  Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

23. Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал.

Во многих практических задачах требуется опередить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функций распределения вероятности в граничных точках этого интервала:

В случае нормального распределения:

Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:P(x1<X<x2)=Ф(t2)-Ф(t1)

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции

, для её вычисления используют специальные таблицы или методы приближённого вычисления.

24. Неравенство Чебышева

Первое неравенство Чебышева-Маркова:

Для каждой неотрицательной СВ х, имеется мат. ожидание М(Х), при любом ε>0, справедливо неравенство:Р(х≥ ε)<М(х)/ ε

Второе неравенство Чебышева.

Для каждой СВ х, имеют дисперсию σ^2 при любой ε>0, справедливо неравенство:

Теорема Чебышева:

Пусть Х1 Х2……….Хn попарно независимые случайные величины, если их дисперсии ограничены, то для сколь угодно малого числа ε, вероятности неравенства :

,

будет сколь угодно близко к 1.

42. Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия наз. критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К. Пирсона («хи квадрат»). Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты……………

Эмпирические частоты…

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Доказано, что при n®¥ закон распределения СВ (А) стремится к закону распределения с степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называют критерием согласия .Число степеней свободы определяется из равенства , где s – число групп (частичных интервалов) выборки,
r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (матем. ожидание и ср. квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы .Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости :.Т. о. правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством . Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:Для того, чтобы при заданном ур-е значимости проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.