Дискретная математика

1.1  Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пересечением множеств А и В.(рис.1.3.) Покажем, что её результат совпадает с объединением дополнений этих множеств:

C== ∪

Запишем ход решения задачи по действиям.

1.  К = А ∩ В = {ki/ki ∈ А и ki ∈ В}.

2.  С = = { сi /сi ∉ K } = { сi /сi ∉ A и сi ∉ В }.

3.  Л = = { лi /лi ∉ А}.

4.  В = = { bi/bi ∉ В}.

5.  M = ∪ = {mi/mi ∉ или mi ∈ } = {mi/mi ∉ А и mi ∈ В}.

Свойства элементов множеств М и С одинаковы, следовательно, эти множества равны.

1.2. Проверить равенство ()А2 = .

Справедливость тождества можно проверить, используя общий алгоритм доказательства тождеств:

А= ()А2 =

Сравнение конституент, из которых составлены множества А и В показывает, что данное равенство неверно, т. е. А ≠ В.

1.3. Считая, что дополнение берется относительно множества А, выразить операцию вычитания через пересечение и дополнение.

Пусть даны два множества В = {bi /bi ∈ B} и С = {сi /сi ∈ С}. Рассмотрим множество А ={аi /аi ∈ А}. Имеем: ai ∈ BC ⟷ (ai ∈ B и ai ∉ С)⟶( ai ∈ B и ai ∈ С1) ⟷( ai ∈ B ∩ С1).

Таким образом, доказано: BC = B ∩ С1 .

1.4. Сравнить множества

А = (U Xi ) × (U Yk ) и В = U (Xi × Yk) .

i ∈ N i, k ∈ N

Имеем: (х, у) ∈ В ⟷ (х, у) ∈ U (Xi × Yk) ⟷ Ai, k ∈ N, (x, y) ∈ (Xi × Yk) ⟷ Ai, k ∈ N, (x ∈ Xi и у ∈ Yk) ⟷

i, k ∈ N

(Ai ∈ N, х ∈ Xi ) и (Ai ∈ N, у ∈ Yk ) ⟷ х ∈ U Xi и у ∈ U Yk ⟷ (х, у) ∈ ( U Xi ) × (U Yk) ⟷(х, у) ∈ A.