Диктант по дифурам

«Обыкновенные дифференциальные уравнения».

1.  Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ).

2.  Дайте определение решения ОДУ.

3.  Дайте определение порядка ОДУ.

4.  Запишите возможные формы записи ОДУ первого порядка.

5.  Запишите нормальную форму записи ОДУ первого порядка.

6.  Что такое поле направления для ОДУ первого порядка.

7.  Дайте определение изоклины.

8.  Сформулируйте задачу Коши для ОДУ первого порядка.

9.  Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.

10.  Что такое интегральная кривая.

11.  Дайте определение общего решения, общего интеграла, частного решения и частного интеграла для ОДУ первого порядка.

12.  Запишите вид ОДУ первого порядка с разделенными переменными.

13.  Запишите вид ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

14.  Дайте определение однородного ОДУ первого порядка и укажите с помощью какой замены оно решается.

15.  Дайте определение ОДУ первого порядка, приводящегося к однородному. Укажите с помощью какой замены оно решается.

16.  Дайте определение линейного (однородного и неоднородного) ОДУ первого порядка и укажите какими двумя методами его можно решить.

17.  Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейного неоднородного ОДУ первого порядка.

18.  Какая замена применяется в методе Бернулли решения линейного неоднородного ОДУ первого порядка.

19.  Дайте определение уравнения Бернулли. Укажите какой заменой оно решается.

20.  Дайте определение ОДУ первого порядка в полных дифференциалах.

21.  Сформулируйте теорему (признак) , дающую необходимое и достаточное условие того, что ОДУ является уравнением в полных дифференциалах.

22.  Дайте определение интегрирующего множителя.

23.  Запишите два случая, в которых может быть найден интегрирующий множитель и формулы для его вычисления.

24.  Дайте определение ОДУ первого порядка, неразрешенного относительно производной.

25.  Запишите вид ОДУ первого порядка Лагранжа и Клеро. Укажите каким методом они решаются.

26.  Дайте определение общего решения, общего интеграла, частного решения и частного интеграла для ОДУ высшего порядка.

27.  Запишите вид ОДУ высшего порядка, не содержащего независимой переменной . Укажите какой заменой оно решается.

28.  Запишите вид ОДУ высшего порядка, не содержащего искомой функции . Укажите какой заменой оно решается.

29.  Запишите вид линейного ОДУ высшего порядка с непрерывными коэффициентами. Укажите, когда оно является однородным, а когда неоднородным. Когда это уравнение превращается в уравнение с постоянными коэффициентами.

30.  Дайте определение линейного оператора . Укажите форму записи линейного неоднородного и однородного ОДУ высшего порядка через линейный оператор.

31.  Дайте определение линейной независимости системы функций.

32.  Дайте определение линейной зависимости системы функций.

33.  Дайте определение определителя Вронского (Вронскиана) для системы функций.

34.  Запишите формулу Остроградского-Лиувилля для линейного ОДУ высшего порядка.

35.  Сформулируйте свойства Вронскиана.

36.  Дайте определение фундаментальной системы решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ высшего порядка (ЛОДУ).

37.  Сформулируйте теорему о структуре общего решения ЛОДУ.

38.  Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейного неоднородного ОДУ высшего порядка (ЛНДУ).

39.  Дайте определение характеристического уравнения и характеристического многочлена для ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

40.  Укажите, как построить ФСР для ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

41.  Укажите как построить частное решение для ЛНДУ по виду его правой части (если , где — многочлен).

42.  Укажите как построить частное решение для ЛНДУ по виду его правой части (если где — многочлены).

ТФКП

1.  Дайте определение комплексной функции действительного переменного.

2.  Дайте определение производной комплексной функции действительного переменного.

3.  Дайте определение кривой на комплексной плоскости (гладкой, кусочно-гладкой, простой).

4.  Дайте определение области на комплексной плоскости (односвязной, многосвязной).

5.  Дайте определение границы области.

6.  Дайте определение функции комплексного переменного.

7.  Дайте определение производной функции комплексного переменного в точке.

8.  Сформулируйте теорему, дающую необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного (Условия Коши-Римана, Даламбера-Эйлера).

9.  Дайте определение аналитической в точке функции комплексного переменного.

10.  Дайте определение аналитической в области функции комплексного переменного.

11.  Дайте определение гармонической функции двух переменных.

12.  Дайте определение двух сопряженных гармонических функций двух переменных.

13.  Сформулируйте теорему о связи между гармоничностью и аналитичностью.

14.  Каким условиям должна удовлетворять вещественная или мнимая часть аналитической в области функции, чтобы по ней можно было восстановить всю функцию?

15.  Дайте понятие интеграла от функции комплексного переменного через предел интегральных сумм.

16.  Запишите формулу сведения интеграла от функции комплексного переменного к двум криволинейным интегралам 2-го рода.

17.  Запишите формулу для вычисления интеграла от функции комплексного переменного преобразованием в определенный интеграл от комплексной функции действительного переменного, в случае параметризации кривой интегрирования.

18.  Запишите параметрическое уравнение окружности и прямой в комплексной форме.

19.  Запишите формулу Ньютона-Лейбница для функции комплексного переменного аналитической в односвязной области.

20.  Запишите интегральную формулу Коши и ее обобщение.

21.  Сформулируйте теорему о разложении аналитической в кольце функции в ряд Лорана.

22.  Что называется главной, а что правильной частью ряда Лорана.

23.  Дайте определение особой и не особой (регулярной, правильной) точки однозначной функции комплексного переменного.

24.  Дайте определение изолированной особой точки функции комплексного переменного.

25.  Как классифицируются изолированные особые точки (устранимая, полюс, существенно особая). Дайте их определения через предел функции в точке.

26.  Сформулируйте критерии выявления типа изолированных особых точек функции комплексного переменного.

27.  Дайте понятие вычета и укажите формулы его вычисления для всех типов изолированных особых точек.

28.  Укажите, какие приложения теории вычетов вы знаете (вычисление контурных интегралов, определенных интегралов, несобственных интегралов).

Операционное исчисление

1.  Дайте понятие оригинала, изображения, интегрального оператора Лапласа.

2.  Сформулируйтк теоремы о существовании и аналитичности изображения. Примеры простейших оригиналов и их изображений.

3.  Сформулируйте свойство преобразования Лапласа: теорему линейности (запишите формулы для изображений оригиналов sin wt, cos wt, sh wt, ch wt); сформулируйте теорему подобия.

4.  Сформулируйте свойства преобразования Лапласа: теоремы о дифференцировании оригинала и изображения и следствия из них.

5.  Сформулируйте свойства преобразования Лапласа: теоремы об интегрировании оригинала и изображения.

6.  Сформулируйте свойства преобразования Лапласа: теоремы запаздывания и смещения (запишите формулы для изображений оригиналов , , , ) .

7.  Дайте определение свертки двух функций и ее свойства. Свойство преобразования Лапласа: теорема умножения.