Дифференцируемость функции в смысле комплексного анализа
3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В СМЫСЛЕ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА.
Дифференцируемость в точке, производная. Пусть функция определена в некоторой окрестности
точки
. Если
, то
— приращение функции
в точке
.
Рассматривается предел
|
(3.1) |
Если он существует, то по аналогии с обычным анализом он называется производной функции в точке
и обозначается через
, а функция
называется дифференцируемой в точке
. Однако в этом определении имеется существенная особенность. Приращение
, как и любое комплексное число, имеет модуль
и аргумент
:
. Под знаком предела написано
, то есть предполагается, что предел не зависит от
, то есть он не зависит от того пути, по которому точка
приближается к точке
. Для того, чтобы подчеркнуть это, при существовании предела (3.1) в указанном смысле говорят, что функция
дифференцируема в точке
в смысле комплексного анализа.
Вспоминая определение предела, для дифференцируемой можно записать
где при
, или
|
(3.2) |
(Отсюда, в частности, следует, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, потому что приращение функции будет стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента.)
Обозначая , получаем
где при
.
Уравнения Коши-Римана. Пусть функция в смысле комплексного анализа в точке
. Рассмотрим во что выльются наши определения, если мы будем рассматривать только вещественные приращения, то есть приращения только по
, или только чисто мнимые приращения, то есть приращения только по
. Итак, пусть сначала
. Тогда
Поэтому
И, следовательно,
|
(3.3) |
так как при
.
Это означает, что функция одной переменной
имеет производную в точке
. Эта производная по переменной
называется частной производной по
и обозначается
То есть по определению частной производной
Поэтому, в силу (3.3) частная производная существует и
|
(3.4) |
Рассмотрим теперь приращение вдоль оси , то есть пусть
.
Тогда, в силу (3.2)
где . Следовательно,
В силу дифференцируемости в смысле комплексного анализа, существует предел при
, а значит и предел
Таким образом, мы можем сделать вывод, что частная производная функции по переменной
существует в точке
, и
|
(3.5) |
Объединяя (3.4) и (3.5), заключаем, что, если функция дифференцируема в смысле комплексного анализа в точке
, то соответствующая ей функция
двух переменных имеет частные производные по
и по
в точке
, и
|
(3.6) |
Равенство
|
(3.7) |
называется уравнением или условием Коши-Римана.
В равенстве (3.7) выделим действительные и мнимые части. Обозначим , тогда
Равенство (3.7) теперь имеет вид
Приравнивая действительные и мнимые части, получим
Эти равенства также называются уравнениями Коши-Римана.