Учебные материалы по математике | Дифференцируемость функции в смысле комплексного анализа | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Дифференцируемость функции в смысле комплексного анализа


3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В СМЫСЛЕ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА.

Дифференцируемость в точке, производная. Пусть функция $ f(z)$определена в некоторой окрестности $ U$точки $ z_{0} $. Если $ z_{0} +
Delta z in U$, то $ f(z_{0} + Delta z) - f(z_{0} ) = Delta f$— приращение функции $ f(z)$в точке $ z_{0} $.

Рассматривается предел

$displaystyle mathop {rm lim}limits_{leftvert {Delta z} rightvert to 0...
...lta z} rightvert to 0} frac{{f(z_{0} + Delta z) - f(z_{0} )}}{{Delta z}}.$

(3.1)

Если он существует, то по аналогии с обычным анализом он называется производной функции $ f(z)$в точке $ z_{0} $и обозначается через $ {f}'(z_{0} )$, а функция $ f(z)$называется дифференцируемой в точке $ z_{0} $. Однако в этом определении имеется существенная особенность. Приращение $ Delta z$, как и любое комплексное число, имеет модуль $и аргумент $ varphi $: $ Delta z = leftvert
{Delta z} rightvert({rm cos}varphi + i,{rm sin}varphi )$. Под знаком предела написано $ vertDelta zvert to 0$, то есть предполагается, что предел не зависит от $ varphi $, то есть он не зависит от того пути, по которому точка $ z_{0} +
Delta z$приближается к точке $ z_{0} $. Для того, чтобы подчеркнуть это, при существовании предела (3.1) в указанном смысле говорят, что функция $ f(z)$дифференцируема в точке $ z_{0} $в смысле комплексного анализа.

Вспоминая определение предела, для дифференцируемой $ f(z)$можно записать

$displaystyle frac{{Delta f}}{{Delta z}} = {f}'(z_{0} ) + eta ,
$

где $ eta to 0$при $ leftvert {Delta z} rightvert to 0$, или

$displaystyle Delta f = {f}'(z_{0} )Delta z + eta Delta z.$

(3.2)

(Отсюда, в частности, следует, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, потому что приращение функции будет стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента.)

Обозначая $ gamma = eta Delta z$, получаем

$displaystyle Delta f = {f}'(z_{0} )Delta z + gamma ,
$

где $при $ leftvert {Delta z} rightvert to 0$.

Уравнения Коши-Римана. Пусть функция $ f(z)$в смысле комплексного анализа в точке $ z_0$. Рассмотрим во что выльются наши определения, если мы будем рассматривать только вещественные приращения, то есть приращения только по $ x$, или только чисто мнимые приращения, то есть приращения только по $ y$. Итак, пусть сначала $ Delta z=Delta x
+i0=Delta x $. Тогда

$displaystyle Delta f=f(z_0+Delta x)-f(z_0)
=f(x_0+ Delta x,,y_0)-f(x_0,,y_0)
=f'(z_0)Delta x+eta Delta x.
$

Поэтому

$displaystyle frac{f(x_0+ Delta x,,y_0)-f(x_0,,y_0)}{Delta x}
=f'(z_0)+eta.
$

И, следовательно,

$displaystyle mathop{rm lim}limits_{Delta xto 0} frac{f(x_0+ Delta x,,y_0)-f(x_0,,y_0)}{Delta x} =f'(z_0),$

(3.3)

так как $ etato 0$при $ vertDelta zvert=vertDelta xvertto 0$.

Это означает, что функция $ f(x,,y_0)$одной переменной $ x$имеет производную в точке $ x_0$. Эта производная по переменной $ x$называется частной производной по $ x$и обозначается

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(x_0,,y_0).
$

То есть по определению частной производной

$displaystyle mathop{rm lim}limits_{Delta xto 0}
frac{f(x_0+Delta x,,y_0)-f(x_0,,y_0)}{Delta x}=
frac{partial f}{partial x}(x_0,,y_0).
$

Поэтому, в силу (3.3) частная производная $существует и

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(x_0,,y_0)=f'(z_0).$

(3.4)

Рассмотрим теперь приращение вдоль оси $ y$, то есть пусть $ Delta z=
0+iDelta y=iDelta y$.

Тогда, в силу (3.2)

$displaystyle Delta f = {f}'(z_{0} )iDelta y + eta iDelta y,
$

где $. Следовательно,

$displaystyle frac{Delta f}{Delta z}=frac{f(x_0, y_0+Delta y)-f(x_0,y_0)}{iDelta y}=
{f}'(z_{0} ) + eta.
$

В силу дифференцируемости в смысле комплексного анализа, существует предел $ frac{Delta f}{Delta z}$при $, а значит и предел

$displaystyle mathop{rm lim}limits_{Delta yto 0}
frac{f(x_0, y_0+Delta y)-f(x_0,y_0)}{Delta y}=if'(z_0).
$

Таким образом, мы можем сделать вывод, что частная производная функции $ f(z)=f(x,y)$по переменной $ y$существует в точке $ (x_0,y_0)$, и

$displaystyle frac{partial f}{partial y}(x_0,y_0)=if'(z_0).$

(3.5)

Объединяя (3.4) и (3.5), заключаем, что, если функция $ f(z)$дифференцируема в смысле комплексного анализа в точке $ z_0$, то соответствующая ей функция $ f(x,y)=f(x+iy)$двух переменных имеет частные производные по $ x$и по $ y$в точке $ (x_0,y_0)$, и

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(x_0,y_0) =frac1ifrac{partial f}{partial y}(x_0,y_0)=f'(z_0).$

(3.6)

Равенство

$displaystyle frac{partial f}{partial x}(x_0,y_0) =frac1ifrac{partial f}{partial y}(x_0,y_0)$

(3.7)

называется уравнением или условием Коши-Римана.

В равенстве (3.7) выделим действительные и мнимые части. Обозначим $ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, тогда

$displaystyle frac{{partial f}}{{partial x}} =frac{{partial u}}{{partial ...
...al y}} =frac{{partial u}}{{partial y}}+
ifrac{{partial v}}{{partial y}}.
$

Равенство (3.7) теперь имеет вид

$displaystyle frac{{partial u}}{{partial x}}+
ifrac{{partial v}}{{partial...
...al y}}=-ifrac{{partial u}}{{partial y}}+
frac{{partial v}}{{partial y}}.
$

Приравнивая действительные и мнимые части, получим

$displaystyle frac{{partial u}}{{partial x}}(x_0,y_0)
=phantom{-}frac{{partial v}}{{partial y}}(x_0,y_0)
$

$displaystyle frac{{partial v}}{{partial x}}(x_0,y_0)
=-frac{{partial u}}{{partial y}}(x_0,y_0).
$

Эти равенства также называются уравнениями Коши-Римана.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод