Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла

,

и вспомнить, что интеграл есть предел интегральных сумм, то из формулы будет следовать, что функция f(z) может быть представлена как предел линейных комбинаций простейших функций . Оба эти качества формулы Коши широко используются.

Заметим, что если точка a лежит вне контура Г, то есть ,то внутри Г функция будет голоморфна. По теореме Коши-Гурса интеграл от нее по Г равен 0. Таким образом, если заменить a на z, то получаем:

 (6.2)

 Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла.

Лемма. Пусть G и Г такие же, как и выше, функция непрерывна по совокупности переменных , и при каждом фиксированном голоморфна по . Пусть, кроме того непрерывна по совокупности переменных и .

Тогда функция

 (6.3)

голоморфна в G и

 (6.4)

Доказательство можно провести, сведя интеграл по комплексной переменной к интегралу по вещественной переменной, и к дифференцированию по x и y и к теореме Коши—Римана.

 Интегральные формулы для производных голоморфной функции.

Вернемся к интегральной формуле Коши

 (6.5)

Если это равенство формально продифференцировать по z, то получим серию формул

;   (6.6)

Чтобы обосновать дифференцирование под знаком интеграла, достаточно сослаться на лемму, если положить

и отметить, что

Очевидно, что все эти функции непрерывны по совокупности переменных поскольку в числителе и знаменателе стоят непрерывные функции и знаменатель не обращается в нуль при внутри и . Таким образом, формулы (6.6) для производных обоснованы. В частности, нами доказано, что голоморфная в области функция имеет производные всех порядков.

 Интеграл типа Коши. При проверке выполнения условия леммы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла не использовалось то, что функция голоморфна. Достаточно было только, чтобы функция была непрерывной по .

Поэтому, если -непрерывная на Г функция, то интеграл

  (6.7)

можно дифференцировать по z под знаком интеграла.

Следовательно, этот интеграл будет определять голоморфную функцию внутри области G ограниченной кривой Г. Более того, так же проверяется, что функция (6.7) будет голоморфной и вне контура Г. Интеграл (6.7) называется интегралом типа Коши. Он порождает две голоморфные функции: одну внутри Г и одну вне Г. Если — голоморфная в G функция, то, как это следует из (6.2), внешняя функция тождественно равна нулю. Поэтому при переходе через Г функция терпит скачок. Аналогичное явление происходит и с интегралом типа Коши в общем случае.

7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

 Пусть функция голоморфна в точке . Тогда она голоморфна и в некоторой окрестности точки . Окружим эту точку контуром Г, лежащим в указанной окрестности.

Внутреннюю область, ограниченную Г, обозначим через U.

Запишем интегральную формулу Коши

при .

Преобразуем

Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии

.

Отсюда

.

Применим последнюю формулу, полагая . Тогда

.

Воспользуемся формулами (6.6) из §6 для производных, тогда получим формулу Тейлора