Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла
,
и вспомнить, что интеграл есть предел интегральных сумм, то из формулы будет следовать, что функция f(z) может быть представлена как предел линейных комбинаций простейших функций . Оба эти качества формулы Коши широко используются.
Заметим, что если точка a лежит вне контура Г, то есть ,то внутри Г функция
будет голоморфна. По теореме Коши-Гурса интеграл от нее по Г равен 0. Таким образом, если заменить a на z, то получаем:
(6.2)
Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла.
Лемма. Пусть G и Г такие же, как и выше, функция непрерывна по совокупности переменных
, и при каждом фиксированном
голоморфна по
. Пусть, кроме того
непрерывна по совокупности переменных
и
.
Тогда функция
(6.3)
голоморфна в G и
(6.4)
Доказательство можно провести, сведя интеграл по комплексной переменной к интегралу по вещественной переменной, и к дифференцированию по x и y и к теореме Коши—Римана.
Интегральные формулы для производных голоморфной функции.
Вернемся к интегральной формуле Коши
(6.5)
Если это равенство формально продифференцировать по z, то получим серию формул
;
(6.6)
Чтобы обосновать дифференцирование под знаком интеграла, достаточно сослаться на лемму, если положить
и отметить, что
Очевидно, что все эти функции непрерывны по совокупности переменных поскольку в числителе и знаменателе стоят непрерывные функции и знаменатель не обращается в нуль при внутри
и
. Таким образом, формулы (6.6) для производных обоснованы. В частности, нами доказано, что голоморфная в области функция имеет производные всех порядков.
Интеграл типа Коши. При проверке выполнения условия леммы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла не использовалось то, что функция голоморфна. Достаточно было только, чтобы функция была
непрерывной по
.
Поэтому, если -непрерывная на Г функция, то интеграл
(6.7)
можно дифференцировать по z под знаком интеграла.
Следовательно, этот интеграл будет определять голоморфную функцию внутри области G ограниченной кривой Г. Более того, так же проверяется, что функция (6.7) будет голоморфной и вне контура Г. Интеграл (6.7) называется интегралом типа Коши. Он порождает две голоморфные функции: одну внутри Г и одну вне Г. Если — голоморфная в G функция, то, как это следует из (6.2), внешняя функция тождественно равна нулю. Поэтому при переходе через Г функция терпит скачок. Аналогичное явление происходит и с интегралом типа Коши в общем случае.
7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция голоморфна в точке
. Тогда она голоморфна и в некоторой окрестности точки
. Окружим эту точку контуром Г, лежащим в указанной окрестности.
Внутреннюю область, ограниченную Г, обозначим через U.
Запишем интегральную формулу Коши
при .
Преобразуем
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии
.
Отсюда
.
Применим последнюю формулу, полагая . Тогда
.
Воспользуемся формулами (6.6) из §6 для производных, тогда получим формулу Тейлора