Дифференциальные уравнения высших порядков

y‘*y-m+P(x)*y1-m =Q(x) сделаем замену

y1-m =z(x) продифференцируем (1-m) y—m* y‘=z‘;

y‘ y—m=(1/1-m)*z’подставим в уравнение

(1/1-m)*z‘+P(x)*z=Q(x) – получим линейное ДУ I. Линейное относительно функции z.

Замечание: Уравнение Бернулли можно решать и подстановкой Бернулли.

ДУ высших порядков Осн. понятия:

F(x, y, y‘, y»,…yⁿ)=0 (1) –ДУ n — порядка.

yⁿ=f(x, y), y‘, y»…y(n-1) (2) – решенное относительно старшей производной.

Общее решение ДУ n-порядка зависит от n-произвольных постоянных С1, С2, Сn. Решение ДУ I. или II имеет вид y=φ(x, C1, C2,..Cn) – общее решение в явл. виде

φ(x, у, C1, C2,..Cn)=0 – общий интеграл (в не явл. виде)

Геометрически общее решение представляет семейство интегральных кривых на плоскости хоу, зависящие от n –параметров C1, C2,..Cn . Для вида частного решения требуется задание значений функции и её n-1 производных в (·)х0, то есть y(х0)=y0; y‘(х0)=y01; y»(х0)=y02;.

y (n-1)(х0)=y0 (n-1) (3); где y0 , y01, y02 – задание числа.

Задача Каши: Найти частное решение уравнения (1) или (2) удовлетворяющее системе начальных уравнений (3).

19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).

1.Общий вид: (1)

Порядок уравнения понижается каждый раз на единицу путем последовательного интегрирования.

……………………………………

2.Д. У не содержащие явно искомой функции y и ее первых производных до порядка включительно, т. е. общий вид (2)

Производится замена: ;

;

;

…………………

Уравнение (2) сводится к: . Порядок, которого . Решив его находим функцию , т. е. уравнение (1).

3.Д. У. не содержащие явно независимой переменной x. Общий вид:

(3)

Производится замена: ;

;

….;

Порядок уравнения понижается на единицу.

20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.

Линейные однородные Д. У. высших порядков с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Общий вид: (1)

– постоянные числа или коэффициенты уравнения.

Решение уравнения (1) будем искать в виде: , (2)

где — некоторое число, предложено Эйлером.

Дифференцируем последовательно решение (2): ;

……………..

Подставим y и производные в уравнение (1):

Сократим на (3)

Функция является уравнением решения (1) тогда и только тогда когда число есть корень уравнения (3).

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) оно получается из Д. У. (1) путем замены производной на соответствующую степень числа , т. е.: ;

;

………………..

;

Таким образом, чтобы найти решении Д. У. (1)в виде (2) нужно: 1)Составить характеристическое уравнение (3); 2)Найти его корни , ,…, ; 3)Каждому корню соответствует решение: ; ;

Возможны следующие случаи корней характеристического уравнения: 1)Корни действительные и различные; 2)Корни действительные кратные; 3)Корни комплексные различные; 4)Корни комплексные кратные;

Корни действительные различные: Пусть , ,…, — действительные различные корни уравнения (3) им соответствует n-решений: ;

;

.………….

;