Дифференциальные уравнения высших порядков
y‘*y-m+P(x)*y1-m =Q(x) сделаем замену
y1-m =z(x) продифференцируем (1-m) y—m* y‘=z‘;
y‘ y—m=(1/1-m)*z’подставим в уравнение
(1/1-m)*z‘+P(x)*z=Q(x) – получим линейное ДУ I. Линейное относительно функции z.
Замечание: Уравнение Бернулли можно решать и подстановкой Бернулли.
ДУ высших порядков Осн. понятия:
F(x, y, y‘, y»,…yⁿ)=0 (1) –ДУ n — порядка.
yⁿ=f(x, y), y‘, y»…y(n-1) (2) – решенное относительно старшей производной.
Общее решение ДУ n-порядка зависит от n-произвольных постоянных С1, С2, Сn. Решение ДУ I. или II имеет вид y=φ(x, C1, C2,..Cn) – общее решение в явл. виде
φ(x, у, C1, C2,..Cn)=0 – общий интеграл (в не явл. виде)
Геометрически общее решение представляет семейство интегральных кривых на плоскости хоу, зависящие от n –параметров C1, C2,..Cn . Для вида частного решения требуется задание значений функции и её n-1 производных в (·)х0, то есть y(х0)=y0; y‘(х0)=y01; y»(х0)=y02;.
y (n-1)(х0)=y0 (n-1) (3); где y0 , y01, y02 – задание числа.
Задача Каши: Найти частное решение уравнения (1) или (2) удовлетворяющее системе начальных уравнений (3).
19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
1.Общий вид: (1)
Порядок уравнения понижается каждый раз на единицу путем последовательного интегрирования.
……………………………………
2.Д. У не содержащие явно искомой функции y и ее первых производных до порядка включительно, т. е. общий вид
(2)
Производится замена: ;
;
;
…………………
Уравнение (2) сводится к: . Порядок, которого
. Решив его находим функцию
, т. е. уравнение (1).
3.Д. У. не содержащие явно независимой переменной x. Общий вид:
(3)
Производится замена: ;
;
….;
Порядок уравнения понижается на единицу.
20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
Линейные однородные Д. У. высших порядков с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Общий вид: (1)
– постоянные числа или коэффициенты уравнения.
Решение уравнения (1) будем искать в виде: , (2)
где — некоторое число, предложено Эйлером.
Дифференцируем последовательно решение (2): ;
……………..
Подставим y и производные в уравнение (1):
Сократим на (3)
Функция является уравнением решения (1) тогда и только тогда когда число
есть корень уравнения (3).
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) оно получается из Д. У. (1) путем замены производной на соответствующую степень числа , т. е.:
;
;
………………..
;
Таким образом, чтобы найти решении Д. У. (1)в виде (2) нужно: 1)Составить характеристическое уравнение (3); 2)Найти его корни ,
,…,
; 3)Каждому корню соответствует решение:
;
;
Возможны следующие случаи корней характеристического уравнения: 1)Корни действительные и различные; 2)Корни действительные кратные; 3)Корни комплексные различные; 4)Корни комплексные кратные;
Корни действительные различные: Пусть ,
,…,
— действительные различные корни уравнения (3) им соответствует n-решений:
;
;
.………….
;
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Закажи контрольную работу у наших партнеров