Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

В нормальной форме y‘=f(x,y) (4)

Общим решением уравнения (3) наз. функция y=y(x, C) удовлетворяющая условия: 1) y(x, C) – непрерывная дифференцируема на (a, b). 2). y’=f(x, C) – при подстановке y и y’ в уравнении получаем тождество.

Уравнение (3) или (4) имеет бесчисленнее количество решений, что бы выделить одно, частное решение надо задать начальное условие y(x0)=y0 (5) или условие Каши.

Задача Коши: найти частное решение ДУ (4), удовлетворяющие начальному условию (5). С геометрической (·) зрения общее решение y=y(x, c) есть семейство интегральных кривых на плоскости xoy. Частное решение y=y(x, C0) одна из кривых проходящая через заданную (·)(x0, y0).

15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные Дифференциальные уравнения.

ДУ с разделяющими переменными y‘=f(x)*g(y) – общий вид dy/dx=f(x)*g(x) – умножим на дробь dx/g(x);

dy/dx*dx/g(xy)=f(x)*g(y)*dx/g(y)

dy/g(y)=f(x)*dx – интегрируем обе части этого равенства и получим общее решение.

∫dy/g(y)=∫f(x)dx, dy – может быть представив в дифференциальной форме ДУ с разделив переменные. M

(x, y) dx + N(x, y) dy=0;

Пр. Решить ДУ. xdy-2ydx=0; xdy=2ydx разделить 1/x*y, x≠0, y≠0;

dy/y=2*dx/x; ∫dy/y=2∫dx/x; ln|y|=2ln|x|+ln|C|; ln|y|=ln|x²*C|

y=C*x² — параболы их множества.

Одинарные ДУ – функция f(x, Y) наз. однородной функцией нулевого измерения если при умножении аргументов z и y, на произвольный параметре t, значение функции не измениться. Однородное функция может быть записана в виде f(x,y)=φ(1;y/x)

Пр. Дана функция f(x, y)=x+y/x-y умножим x и y на t. f(tx, ty)=tx+ty/tx-ty=t(x+y)/t(x-y)=x+y/x-y – это однородная функция однородного измерения. Разделим числитель и знаменатель на х. f(x, y)=(x+y/x)/(x-y/x)=(1+y/x)/(1-y/x)=φ(1;y/x).

Функции f(x,y) наз. однородной функции n – измерение если, при замене x и y на х→tx; y→ty, получается тоже функция умноженная на tⁿ, то есть f(tx, ty)=tⁿf(x, y)

Уравнение вида y‘=φ(1; y/x) (6) или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (7)

наз. однородными, где M и N однородные функции одного измерения. Уравнение (6) и (7) приводиться к уравнению с разделяющимися переменной заменой. y/x=u(x); y=u(x)*x; y’=u'(x)*x+u(x)

y и y’ подставляется в уравнении (6).

Замечание: Иногда однородное уравнения удобно интегрировать считая х, функцией от у, тогда производиться замена x/y=u(y).

22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общий вид: (1)

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е.: , где – решения однородного уравнения, – частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения: .

16.Линейные Дифференциальные уравнения I порядка. Решение методом Бернулли.

Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y‘+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y’. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y‘+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).

Один из методов метод подстановки Бернулли. Он закл. в том, что решение уравнения (8) запишем в виде y=u(x)*v(x), где u и v непрерывные дифференцируемые функции. y’=u’v+uv’. Подставим y и y’ в уравнение (8) u‘v+uv‘+P(x)*u*v=G(x) сгруппируем

uv’+v(u’+P(x)v)=Q(x) (*)

В качестве функции u от x возьмём решение уравнения

u’+P(x)v=0 – уравнение с разделяющимися переменными.

du/dx=-P(x)*u разделить dx/u; du/u=-P(x)dx интегрируем обе части ∫du/u=-P(x)dx; ln|u|=-∫P(x)dx+C1.

Здесь в качестве C1=0, для упрощения вычисления в дальнейшем Выразим (u) проинтегрируем обе части.

u =e -∫P(x)dx. Подставим в уравнение (*)

e -∫P(x)dx.*v=Q(x);

e -∫P(x)dx.*dv/dx=Q(x) | dx*e -∫P(x)dx

dv=Q(x)* e -∫P(x)dx dx интегрируем обе части

v=∫Q(x) e -∫P(x)dx dx +C

Общее решение неоднородного уравнения (yон) yон= u(x)*v(x)= e -∫P(x)dx (Q(x) e ∫P(x)dx dx+C).

17.Линейные ДУ I порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.

Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y‘+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y’. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y‘+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).

Один из методов метод вариации постоянной (Метод Лагранжа): суть метода находим общее решение линейного однородного уравнения.

y’+P(x)y=0

d/dx=-P(x)y;

dy/y=-P(x)dx;

-ln|C|+ln|y|=-∫P(x)dx;

ln|y/c|=-∫P(x)dx;

y/c= e -∫P(x)dx;

y0=C* e ∫P(x)dx – решение однородного уравнения. Заменим С на функцию С(х) и yон=С(х)*e ∫P(x)dx.

Чтобы найти С(х) подставим yон в у равнение y’он=С'(х)* e ∫P(x)dx + С(х)* e ∫P(x)dx (-Рх))=Q(x)

(∫f(x)dx)’=f(x);

С'(х)* e ∫P(x)dx — P(x) * С(х)* e ∫P(x)dx +P(x)*C(x)* e — P(x)dx ;

C'(x)* e — P(x)dx =Q(x);

C'(x) = Q(x)* e ∫P(x)dx ;

dc/dx=Q(x)* e ∫P(x)dx ;

C(x)=∫Q(x)*e∫P(x) dx+C1.

Подставим С(х) в уон и получим решение.

18.Дифференциальные уравнения I порядка Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.

Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y‘+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y’. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y‘+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).Один из методов уравнение Бернулли. y‘+P(x)y=Q(x)*ym (10). Если m=0, то получаем ЛДУ, если m=1, то получаем уравнение с разделяющимися переменными. Расм. когда m≠0; 1. Разделим уравнение (10) на ym, получаем.

y‘/ ym +P(x)y/ ym =Q(x);