Учебные материалы по математике | Дифференциальные уравнения порядка выше первого | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Дифференциальные уравнения порядка выше первого


которая при фиксированном значении одной из независимых переменных обращается в заданную функцию от остальных переменных.

(6)  при xn = xn0 u = H (x1 ,.., xn -1).

Общее решение дифференциального уравнения (1)  u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1).

Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее н. у.(6). Для этого воспользуемся 1ми интегралами (5)

системы (2)

, положив в них xn = xn0 :

Эта система разрешима в окрестности точки  (x10 ,.., xn0) относительно x1 ,.., xn -1 :

Подставим полученные соотношения xi в начальное условие  u = H(x1 ,.., xn -1 )  ( H — известная функция) ; так как  u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), то при подстановке (**) получим: u = Φ (c1 ,.., cn -1) = H [ φ1 (c1 ,.., cn -1 ),.., φn -1 (c1 ,.., cn -1) ] ;  (где Φ-неизвестная), т. е. мы получили общий вид функции   Φ(α1 ,.., αn -1) ; так как общее решение уравнения (1) определяется как   Φ(ψ1 ,.., ψn -1), остается вместо сi подставить интегралы ψi :

u ( x1 ,.., xn -1 ) = Φ(ψ 1 ,.., ψn -1) = H [ φ1 (ψ1 ,.., ψn -1 ),..,φn -1 (ψ1 ,.., ψn -1) ] 

Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка.

Определение. Уравнение вида F(x, y,y’,y»,…,y(n)) = 0, (*)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид: где F − непрерывная функция указанных аргументов.

Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка.

Случай 1. Уравнение вида F(x, y (k), y (k+1),…, y (n)) = 0

Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены

порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x) находится последующим k-кратным интегрированием.

Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т. е. имеет вид то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены y’ = p(x).

Случай 2. Уравнение вида F(y, y’, y»,…, y (n)) = 0

Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены y’ = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом: Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x).

Случай 3. Однородное уравнение F(x, y, y’, y»,…, y (n)) = 0

Уравнение F(x, y, y’, y»,…,y (n)) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y’, y»,…,y (n), если выполняется тождество Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки где z(x) − новая неизвестная функция.

После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C1 − произвольное число.

Случай 4. Функция F(x, y, y’, y»,…, y (n)) является точной производной

В некоторых случаях левую часть F(x, y, y’, y»,…,y (n)) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка: Тогда решение исходного уравнения записывается в виде

Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения к одному ДУ высшего порядка. Он основывается на следующих положениях :

Возьмем из (6.1) 1-ое уравнение и продифференцируем:

= + * + … + *

Подставим значение производной:

, , … , ++…+

Продифференцируем это равенство еще раз и заменив их производную выразим систему (6.1)

= + * +…+ *

= (x, ,…,)

Соберем полученное уравнение в системе :

= (x, ,,…)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод