Дифференциальные уравнения порядка выше первого

которая при фиксированном значении одной из независимых переменных обращается в заданную функцию от остальных переменных.

(6)  при xn = xn0 u = H (x1 ,.., xn -1).

Общее решение дифференциального уравнения (1)  u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1).

Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее н. у.(6). Для этого воспользуемся 1ми интегралами (5)

системы (2)

, положив в них xn = xn0 :

Эта система разрешима в окрестности точки  (x10 ,.., xn0) относительно x1 ,.., xn -1 :

Подставим полученные соотношения xi в начальное условие  u = H(x1 ,.., xn -1 )  ( H — известная функция) ; так как  u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), то при подстановке (**) получим: u = Φ (c1 ,.., cn -1) = H [ φ1 (c1 ,.., cn -1 ),.., φn -1 (c1 ,.., cn -1) ] ;  (где Φ-неизвестная), т. е. мы получили общий вид функции   Φ(α1 ,.., αn -1) ; так как общее решение уравнения (1) определяется как   Φ(ψ1 ,.., ψn -1), остается вместо сi подставить интегралы ψi :

u ( x1 ,.., xn -1 ) = Φ(ψ 1 ,.., ψn -1) = H [ φ1 (ψ1 ,.., ψn -1 ),..,φn -1 (ψ1 ,.., ψn -1) ] 

Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка.

Определение. Уравнение вида F(x, y,y’,y»,…,y(n)) = 0, (*)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид: где F − непрерывная функция указанных аргументов.

Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка.

Случай 1. Уравнение вида F(x, y (k), y (k+1),…, y (n)) = 0

Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены

порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x) находится последующим k-кратным интегрированием.

Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т. е. имеет вид то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены y’ = p(x).

Случай 2. Уравнение вида F(y, y’, y»,…, y (n)) = 0

Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены y’ = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом: Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x).

Случай 3. Однородное уравнение F(x, y, y’, y»,…, y (n)) = 0

Уравнение F(x, y, y’, y»,…,y (n)) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y’, y»,…,y (n), если выполняется тождество Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки где z(x) − новая неизвестная функция.

После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C1 − произвольное число.

Случай 4. Функция F(x, y, y’, y»,…, y (n)) является точной производной

В некоторых случаях левую часть F(x, y, y’, y»,…,y (n)) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка: Тогда решение исходного уравнения записывается в виде

Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения к одному ДУ высшего порядка. Он основывается на следующих положениях :

Возьмем из (6.1) 1-ое уравнение и продифференцируем:

= + * + … + *

Подставим значение производной:

, , … , ++…+

Продифференцируем это равенство еще раз и заменив их производную выразим систему (6.1)

= + * +…+ *

= (x, ,…,)

Соберем полученное уравнение в системе :

= (x, ,,…)