Дифференциальные уравнения — методические указания к заданиям

Дифференциальные уравнения: Методические указания к заданиям и варианты индивидуальных домашних заданий

Введение

Основные понятия

Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции. Порядок дифференциального уравнения совпадает с порядком наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция является функцией одного аргумента , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Например, уравнение где является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. (В дальнейшем для краткости слово «обыкновенное» будем опускать.)

В общем случае дифференциальное уравнение (ДУ) n-го порядка может быть записано в виде

(1)

Если удаётся его разрешить относительно старшей производной, то получаем уравнение в нормальной форме

(2)

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у =у(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Если функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, определена в неявном виде: то называется интегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) или (2) называется функция вида , удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) оно является решением уравнения (1) или (2) при любых значениях , ;

2) для любых начальных данных при которых дифференциальное уравнение имеет решение, можно указать значения постоянных Ci=Ci0 , при которых будут выполнены начальные условия

(3)

Всякое решение уравнения получающееся из общего решения при конкретных значениях называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (1) или (2), удовлетворяющее начальным условиям называется начальной задачей Коши, или просто задачей Коши.

График решения (или интеграла) дифференциального уравнения (1) или (2) на плоскости Оху называется интегральной линией. Следовательно, каждому решению или интегралу соответствует интегральная линия.

Если правая часть уравнения (2) является непрерывной функцией и имеет непрерывную производную в области D, то решение уравнения (2) в этой области при начальных условиях (3) существует и единственно, то — есть через точку (х0, у0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (т е о р е м а К о ш и).

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка называется уравнение вида

(4)

где функции непрерывны на некотором отрезке

Функции у1(х) и у2(х) называются линейно зависимыми на отрезке , если существуют постоянные числа С1 и С2, не все равные нулю, такие, что выполняется условие

. (5)

Если же тождество (5) выполняется только в случае, когда , то функции у1(х) и у2(х) называются линейно независимыми.

О линейной зависимости или независимости функций у1(х) и у2(х) можно судить по определителю

,

который называется определителем Вронского (или просто вронскианом)

Теорема 1. Если функции у1(х) и у2(х) линейно зависимы на отрезке , то для всех х из .

Теорема 2. Если у1(х) и у2(х) линейно независимые на отрезке решения дифференциального уравнения (4), то определитель Вронского этих функций отличен от нуля во всех точках отрезка .

На основе этих теорем строится общее решение линейного дифференциального уравнения.

Теорема 3. Общее решение уоо линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) (5) имеет вид

где — линейно независимые решения этого уравнения.

Таким образом, для того чтобы получить общее решение однородного уравнения (5), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения. В этом случае говорят, что они образуют фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения (5).

Теорема 4. Общее решение уон линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) (4) представляется в виде суммы

где уоо – общее решение соответствующего однородного уравне — ния (5), а уч – некоторое частное решение неоднородного уравне­­- ния (4).

Проще всего задача нахождения общего решения решается, если коэффициенты p(x) и q(x) в уравнении (4) не зависят от х.

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

(6)

Фундаментальную систему решений этого уравнения можно найти следующим образом. Составляем алгебраическое уравнение

r2 + pr + q = 0, (7)

которое называется характеристическим уравнением для уравне-ния (6).

Для составления общего решения уоо дифференциального уравнения (6) необходимо найти корни r1 и r2 соответствующего характеристического уравнения (7) и применить следующую теорему:

Теорема 5. Пусть корни r1 и r2 – корни характеристического уравнения для уравнения (6). Тогда общее решение уравнения (6) находится по одной из трёх следующих формул:

1)  если r1 и r2 – действительные и r1 ≠ r2 , то

2)  если r1 = r2, то

3)  если — комплексно-сопряжённые корни, то

Чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения

, (8)

нужно найти его частное решение уч. Это легко сделать в случае, когда правая часть имеет специальный вид, и оно находится методом неопределённых коэффициентов.

1. где — многочлен степени n.

а) Если не является корнем уравнения (7), то частное решение ищется в виде

(9)

где — многочлен степени n с неизвестными коэффициентами.

б) Если — корень уравнения (7) кратности k, то частное решение записывается в виде

(10)

Вид этих решений справедлив и при = 0.

2. где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно. Положим . Тогда

, (11)

где , если не является корнем уравнения (7), и отлично от нуля, если – корень уравнения (7) кратности k.

Частное решение ЛНДУ (8) в случае специального вида f(x) и в общем случае можно найти методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Суть его в следующем. Если y1(x) и y2(x) – фундаментальная система решений ОЛДУ (6), тогда частное решение можно представить в виде где функции C1(x) и C2(x) находятся из системы дифференциальных уравнений

Ниже приводятся примеры решения дифференциальных уравнений, аналогичных в заданиях.

Решения задания типового варианта

I. Первые семь уравнений являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Среди них представлены уравнения: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

1. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Решение. Для установления типа дифференциального уравнения преобразуем его, применив формулу разности синусов:

– получилось уравнение с разделяющимися переменными.

Метод решения. Заменим производную отношением дифференциалов и разделим переменные: . Далее проинтегрируем обе части полученного уравнения: , . Получим общее решение исходного уравнения .

Ответ: Общее решение .

2. Решить начальную задачу Коши

, .

Решение. Сначала найдём общий интеграл этого уравнения. Преобразовав уравнение, сведём его к уравнению с разделяющимися переменными:

, .

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

, ,

– получили общий интеграл. Теперь найдём значение произвольной постоянной С, подставив в общий интеграл исходные начальные условия : . Таким образом, частное решение (частный интеграл) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

Ответ: .

3. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разрешим уравнение относительно производной:

, — получилось однородное уравнение. Метод решения. Сделаем замену и перейдём к уравнению относительно новой функции:

, , , , , – получилось уравнение с разделяющимися переменными. Заменим производную отношением дифференциалов и разведём переменные по разным частям равенства, пользуясь свойствами пропорции

.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

.

. Найдём первообразную левой части уравнения:

. Тогда и .

Перейдя к исходной функции , получаем общий интеграл.

Ответ: .

4. Решить начальную задачу Коши

.

Решение. Исходное уравнение сводится к линейному уравнению первого порядка . Найдём сначала общее решение этого уравнения.

Метод решения. Применим метод Бернулли. Сделаем замену , тогда . Подставим всё в левую часть уравнение .Выберем так, чтобы . В результате получили два уравнения

Сначала найдём одно из решений первого уравнения , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем обе части полученного уравнения: , , , . Подставим во второе уравнение и найдём его общее решение:

, – уравнение с разделяющимися переменными: , , .

Поскольку , то – общее решение.

Подставив в это решение начальное условие , получим .

Частное решение запишется в виде . Ответ: .

5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это уравнение сводится к уравнению Бернулли: . Применим метод Бернулли: , тогда ; перейдём в обеих частях уравнения к функциям u и v: . Выберем так, чтобы , после чего получим систему двух уравнений.

.

Найдём одно из решений первого уравнения: , , , . Подставим полученное решение во второе уравнение и найдём его общее решение: , , , , . Общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: .

Ответ: .

6. Решить начальную задачу Коши: .

Решение. Это уравнение сводится к уравнению Бернулли: . Применим метод Бернулли: , тогда ; перейдём в обеих частях уравнения к функциям u и v: . Выберем так, чтобы , после чего получим систему двух уравнений

Найдём одно из решений первого уравнения: , , , . Подставим полученное решение во второе уравнение и найдём общее решение этого уравнения: , , , , . Общее решение исходного уравнения запишется в виде: . Подставив в это решение начальное условие , получим, что , и решение задачи Коши окончательно принимает вид . Ответ: .

7. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Покажем, что это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Пусть и . Проверим равенство , которое является условием того, что уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Поскольку , , то , следовательно, исходное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует функция , для которой

,

и дифференциальное уравнение сводится к уравнению . Найдём функцию .

Поскольку для исходного уравнения

и ,

то . От этой функции найдём частную производную по переменной y: . Сравнивая это выражение со второй частной производной , получим, что . Следовательно, const. Итак, с точностью до постоянной нашли функцию , но , тогда . Это равенство и определяет общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Ответ: .

II. В следующих трёх примерах даны дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения

при начальных условиях .

и вычислить с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Дано дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы найти его частное решение, сначала найдём общее решение этого уравнения. Для этого понизим порядок дифференциального уравнения. Пусть , тогда и

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными первого порядка. Найдём общее решение этого уравнения. Поскольку

, то

. Так как , то . Итак, – общее решение исходного уравнения. Реализуя начальные условия, получим и ; тогда получается частное решение .

Теперь можно вычислить:

Ответ: , .

9. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Поскольку в уравнении явно отсутствует функция у, понизим порядок уравнения, сделав замену . Тогда и дифференциальное уравнение примет вид , – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение: , , , . Учитывая, что , получаем уравнение с разделяющимися переменными – . Интегрируем его:

.

Итак, – общее решение исходного уравнения. Ответ: .

10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка

.

Решение. Поскольку в этом уравнении явно отсутствует переменная х, то для понижения его порядка сделаем замену . Тогда и исходное уравнение примет вид или , откуда – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, проинтегрируем полученное уравнение: , , , или . При нахождении частного решения значения произвольных постоянных и можно находить по мере их появления. Сейчас можно найти значение постоянной , подставив в последнее равенство начальные условия : . Тогда – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, проинтегрируем полученное уравнение: , , . Теперь найдём значение постоянной . Итак, – частное решение исходного уравнения.

Ответ: .

III. В следующих четырёх номерах даны линейные однородные (11) и неоднородные (12 -15) дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

11. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ; б) ; в) .

Решение. Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения (см. формулу (7)) записываем общее решение дифференциального уравнения:

а) .

Его корни , следовательно, , тогда фундаментальную систему решений (ФСР) образуют функции . Поскольку общее решение является линейной комбинацией произвольных постоянных и решений ФСР, то для нашего уравнения общее решение запишется в виде

;

б).

Его корни – действительные равные, , тогда образуют ФСР и общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: ;

в) .

Его корни – действительные различные, поэтому образуют ФСР, и общее решение исходного уравнения запишется следующим образом: .

Ответ: а);

б) ; в) .

12. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения исходного неоднородного уравнения, т. е.

.

Найдём общее решение однородного уравнения. . Его характеристическое уравнение имеет корни , т. е. ; тогда образуют ФСР, и общее решение однородного уравнения запишется следующим образом: .

Поскольку правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени и число не является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то частное решение можно искать тоже в виде многочлена второй степени, но с неопределёнными коэффициентами. Значения коэффициентов А, В, и С нужно искать из условия, что функция ­­­–­ решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

37

2

1

.

Приравняв коэффициенты многочленов при одинаковых степенях ­, получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, получим, что . Тогда

и ­– общее решение исходного уравнения.

Ответ: .

13. Найти общее решение уравнения

Решение. Найдём общее решение однородного уравнения Составим характеристическое уравнение: . Его корни , , тогда образуют ФСР, и общее решение однородного уравнения запишется следующим образом: .

Поскольку правая часть данного уравнения равна и число не является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то согласно формуле (11) Введения частное решение можно искать в виде . Значения коэффициентов А и В нужно искать из условия, что функция – решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

1

— 4

4

.

Приравняв коэффициенты при функциях и , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту систему, получим, что . Тогда

и – общее решение исходного уравнения.

Ответ: .

14. Решить задачу Коши для уравнения

Решение. Сначала найдём общее решение этого уравнения. Составим характеристическое уравнение ОЛДУ: . Его корни , и решение однородного уравнения запишется в виде . Поскольку правая часть данного уравнения равна и число является корнем характеристического уравнения ОЛДУ, то частное решение можно искать в виде . Значение коэффициента А нужно искать из условия, что функция – решение исходного уравнения. Подставим эту функцию в заданное уравнение. Удобно эту подстановку выполнить следующим образом:

-4

0

1

или, т. е. . Тогда.

Общее решение исходного уравнения запишется следующим образом:

.

Для нахождения частного решения реализуем начальные условия. Подставив первое условие , получим . Найдём производную общего решения и, подставив в неё второе условие , после упрощения получим . Итак, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решением этой системы является и , тогда решением задачи Коши будет .

Ответ: .

15. Определить и записать структуру частного решения НЛДУ по виду правой части уравнения :

а) ; б) .

Решение. а) Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни: , . По условию , тогда , где к – кратность корня характеристического уравнения . Поскольку среди корней характеристического уравнения нет такого значения, то и .

б) По условию , тогда

,

где к — кратность корня характеристического уравнения . В данном случае снова и .

Ответ: а) ; б) .

IV. 16. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Решим систему методом сведения к однородному дифференциальному уравнению. Продифференцируем обе части второго уравнения: . Исключив из этого уравнения , а потом х, используя сначала первое, а потом второе уравнения исходной системы, получим

.

Итак, получилось ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни: – , тогда образуют ФСР и общее решение уравнения запишется следующим образом: .

Из второго уравнения системы получим . Так как , то .

Итак, — общее решение исходной системы.

Ответ: .

V. 17. Последнее задание содержит задачи двух типов – составление и решение дифференциального уравнения на физическую и геометрическую тему. Рассмотрим оба типа задач.

а). В контур с индуктивностью с и сопротивлением включена сторонняя ЭДС . Определить зависимость тока от времени , если в начальный момент ток равен нулю.

Решение. Как известно, падение напряжения в обозначенном контуре (см. рисунок) складывается из падения его на сопротивлении и ЭДС самоиндукции . Таким образом, уравнение для тока в контуре запишется в виде

, (1)

где – внешняя электродвижущая сила.

Запишем уравнение (1) в виде

(2)

где для краткости введено обозначение Получили неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение его складывается из решения однородного уравнения , равного и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем по виду правой части – . Подставляя его в (2), определяем константы Таким образом, частное решение имеет вид . Его можно представить в другом виде, введя угол сдвига фазы φ тока в контуре по отношению к ЭДС. Для этого положим Постоянная отсюда равна , а частное решение теперь принимает вид Общее решение его запишется в виде

. (3)

Постоянная С определяется из начального условия : .

Окончательно решение уравнения (2) запишется в виде

(4)

Если достаточно велико, то – малая величина и ею в формуле (4) можно пренебречь (затухание собственного тока в

контуре за счёт активного сопротивления). Тогда будем иметь

(5)

Другой вариант нахождения частного решения

В правую часть уравнения (1) введём вместо комплексную величину: . Тогда выражение для тока становится также комплексным – , и, в силу линейности уравнения (1), искомый ток определяется как его мнимая часть: . Теперь решение уравнения

(6) ищется в виде . Подставляя его в уравнение (6), получаем уравнение для , откуда , или в показательной форме . Таким образом, частное решение имеет вид , а его мнимая часть даёт то же выражение для тока, что и в (4).

Замечание. Решение уравнения (2) можно также получить с помощью метода Бернулли.

Ответ: .

б) Записать уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что площадь трапеции DMCO (см. рисунок), ограниченной осями координат, любой касательной к этой кривой в точке M(x, y) и ординатой точки касания MC, есть величина постоянная, равная 3.

Решение. Имеем

где перед ставится знак «+», если tg (левее точки минимума на рисунке), и знак «–», если tg. Поэтому в обоих случаях имеем: Далее находим:

Получили линейное уравнение первого порядка. Решаем его:

(1)

Подставим найденное выражение для в уравнение (1): . Отсюда находим :

.

Тогда .

Поскольку кривая проходит через точку , то, подставляя эти значения в общее решение, получим C=1/4. Искомая кривая имеет уравнение . При имеем точку минимума.

Ответ: – общее решение.