Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

.

(k=0,1,2, … n-1;

Где C>0, ),

То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям .Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в промежутке где

h= min

Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия

(4)

Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянных она обращает урав. (1)в тождество ;2)знач. постоянных можно подобрать так, чтобы она удовлетворяла условиям (3)

Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение, получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е. ф-ия

Где -некоторые числа.

Решение диф-огоуравн. n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида

(5)

Неявно определ-ее общее решение этого уравнения. Частным интегралом диф. урав-я n-ого порядка назыв. соотношение , полученное из общего интеграла путем фиксирования значений произвольных постоянных.

№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M1(x)·N1(y)dx+M2(x)·M2(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y‘=f1(x)·f2(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N1(y)·M2(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N1(y)·M2(x). Получим: ,

Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f2(y) в предположении, что f2(y)≠0.

– общий интеграл.

Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M1(y)·M2(x)=0 или f2(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.

№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:

Ур-е: y‘+P(x)y=Q(x) (1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y‘ (а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0 ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши.

Методы решения:

1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа):

y’+P(x)y=0

lny|=-

y=

=

y0=C·

C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1)

yн=C(x)·

d(x)·

C ‘(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)·

yн=

Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид:

y=y0+yн=С·

2.Метод Бернулли:

Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x)

U’V+UV’+P·UV=Q

U’V+U(V’+PV)=0=Q

V’+PV=0

V’+PV=0

ln|V|=-

V=C· C=1