Учебные материалы по математике | Дифференциальное уравнение первого порядка | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Дифференциальное уравнение первого порядка


1. Дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение, связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую производную от искомой функции.

Если уравнение F(x, y, y´) = 0 определяет y´ как неявную функцию от x и y, то его можно представить в виде, разрешённом относительно y´: y´ = f(x, y).

Решением дифференциального уравнения называется функция y = φ(x), которая при подстановке в исходное уравнение обратит его в верное тождество. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка представляется формулой, содержащей одно произвольное постоянное. Чтобы найти частное решение этого уравнения, требуется задать одно начальное условие в виде y(x0) = y0 .

4. Задачей Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка является задача отыскания частного решения этого уравнения с начальным условием y(x0) = y0. Если дифференциальное уравнение задано формулой y´ = f(x) и F(x) – первообразная функции f(x), то искомое уравнение будет представлено в виде yy0 = F(x) – F(x0) .

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши: если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D (x0, y0), то на некотором интервале (y0-h, y0+h) существует единственное решение y = y(x) уравнения y‘ = f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

3. Пусть дано разрешённое уравнение 1-ого порядка y‘ = f(x, y). Если представить значения функции y и её аргумента x как декартовы координаты, то каждой точке плоскости можно сопоставить значение y‘, которое равно тангенсу угла наклона касательной к интегральной кривой – решению (частному) данного уравнения. Таким образом, в каждой точке плоскости задаётся направление искомой(ых) кривой(ых) – плоскость теперь представляет поле направлений.

Уравнения вида y’ = f(x, y) можно приближённо решать с помощью метода изоклин. Для этого выбирается значение y’ и подставляется в исходное уравнение, которое становится алгебраическим и по нему на плоскости можно построить линию. Поскольку значение y’ зафиксировано, то и наклон интегральной кривой во всех её точках будет одинаков и равен arctg(y’) . Такие линии называются изоклинами. Теперь, чтобы начертить интегральную кривую достаточно взять некоторую точку на плоскости и провести через неё кривую так, чтобы она в каждой точке имела направление поля.

4. Простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка имеет вид y´ = f(x), или dy = f(x) dx . Если в последнем выражении проинтегрировать правую и левую часть, то мы получим решение исходного уравнения: y = + C , где C – произвольное постоянное.

Уравнения вида , в которых правая часть – это произведение функций только от x и только от y, называются уравнениями с разделяющимися переменными. В них можно функцию от x и дифференциал x перенести в одну часть уравнения, а функцию от y и дифференциал y – в другую: , и проинтегрировать обе части. Отсюда следует мнемоническое правило решения таких уравнений: «всё, что с x – в одну сторону, всё, что с y – в другую». Так как дифференциалы слева и справа равны, то интегралы будут отличаться только на произвольное постоянное: .

5. Уравнение 1-ого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если имеет место тождество f(tx, ty) ≡ f(x, y) . Тогда, взяв получим функцию от одного аргумента . Сделав замену , получим y = z x , y’ = z + zx , z + zx = g(z) . Последнее является уравнением с разделяющимися переменными. Решив его и сделав обратную замену, получим интеграл исходного уравнения.

6. Линейным уравнением 1-ого порядка называется уравнение вида a1(x) y’ + a0(x) y = b(x) или y’ + a(x) y = b(x) . Если b(x) ≡ 0 , уравнение называется линейным однородным, если нет – линейным неоднородным. Линейное однородное уравнение решается разделением переменных и его общее решение представляется в виде .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение сначала решают соответствующее ему однородное, а потом применяют метод вариации постоянного. Постоянное C в решении однородного уравнения принимают за некую функцию от x, подставляя это решение в исходное неоднородное уравнение. Получается уравнение вида . Решаем его относительно C и подставляем в решение однородного уравнения.

8. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида y’ + a(x) y = b(x) yn . при n = 0 оно является линейным неоднородным, а при n = 1 путём переноса b(x) y в левую часть превращается в линейное однородное.

В общем случае, когда n ≠ 0 и n ≠ 1 , уравнение решается следующим образом: обе части уравнения делятся на yn и делается замена z = y1 – n . y n y‘ + a(x) y1 – n = b(x) , . Полученное линейное неоднородное уравнение относительно z(x) решается, и делается обратная замена. При делении на yn мы не учитывали случай, когда y = 0 – этот случай входит во множество решений исходного уравнения.

8. Если уравнение записано в дифференциальной форме и имеет вид M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 , и при этом левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) ( M = , N = ) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Его можно переписать в виде dU = 0 , и, интегрируя, U(x, y) = C , или для исходного уравнения + = C .

Однако, чтобы судить о том, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, требуется проверить необходимое условие. Оно получается, если двумя способами получить . Если M = , то = и если N = , то = , таким образом, должно выполняться тождество = .

9. Если уравнение F(x, y, y´) = 0 не разрешается относительно производной, то его можно решить методом введения параметра. Если уравнение представлено в виде y = f(x, y’), то введём параметр p = y’ . Дифференциал y равен dy = и в тоже время он равен dy = p dx . Приравнивая эти выражения, решаем полученное уравнение для x. Заменяя в исходном уравнении y’ на p и подставляя решение уравнения x(p), получаем параметрическое решение: x = φ(p) ; y = f(φ(p), p) .

В данном виде уравнений могут присутствовать особые решения. Решение y = φ(x) уравнения F(x, y, y´) = 0 называется особым, если через каждую его точку… Если функция.. и производные… поэтому, чтобы отыскать… наз. уравнением дискриминантной кривой.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод